ajustements dans la fiche 5

TDs/M61B_2023-24_TD5.tex

@@ -6,16 +6,14 @@
 
 \begin{document}
 
-Dans toute la fiche, on supposera que les variables aléatoires d’un même exercice
-sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$.
-
+\emph{Dans toute la fiche, on supposera que les variables aléatoires d’un même exercice sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$.}
 
 % ===============================================
 \section{Autour de la fonction de répartition}
 % ===============================================
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Fonction de répartition?)}
 
   Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions de répartition d'une variable aléatoire réelle ?
   \[
@@ -24,7 +22,7 @@ sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Répartition uniforme)}
 
   Soit $X$ une variable aléatoire réelle de loi uniforme sur $[0,1]$.
   \begin{enumerate}
@@ -32,13 +30,13 @@ sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$
     \item Déterminer la loi de la variable aléatoire $Y$ dans les cas suivants :
     \begin{enumerate}
       \item $Y=1-X$ ;
-      \item $Y=a+(b-a)X$, où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b$.
+      \item $Z=a+(b-a)X$, où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b$.
     \end{enumerate}
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Le $\min$ est-il continu ?)}
 
   Soit $X$ une variable aléatoire réelle de fonction de répartition $F_X$. On pose $Z=\min (X,c)$ où $c$ est un réel.
   \begin{enumerate}
@@ -48,19 +46,19 @@ sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Somme de v.a. uniformes)}
 
   Soit $X$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,1]$ et $Y$ la variable aléatoire définie par
   \[
     Y(\omega) \coloneqq
       \begin{cases}
-        X(\omega)   & \text{si } X(\omega) \in  [0,1/4] \cup [3/4, 1];   \\
+        X(\omega)   & \text{si } X(\omega) \in [0,1/4] \cup [3/4, 1];\\
         1-X(\omega) & \text{si } X(\omega) \in\ ]1/4, 3/4[.
       \end{cases}
   \]
   \begin{enumerate}
     \item Quelle est la loi de $Y$ ?
-    \item Trouver la fonction de répartition de la variable aléatoire $Z \coloneqq  X+Y$ et vérifier que $Z$ n'est ni discrète ni à densité.
+    \item Trouver la fonction de répartition de la variable aléatoire $Z \coloneqq X+Y$ et vérifier que $Z$ n'est ni discrète ni à densité.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
@@ -72,7 +70,7 @@ sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$
 % -----------------------------------------------
 \begin{exo}\emph{(Interprétation du graphique d'une densité)}
 
-  La variable aléatoire $X$ a pour densité la fonction $f$ ci dessous :
+  La variable aléatoire $X$ a pour densité la fonction $f$ ci-dessous :
   \begin{center}
     \includegraphics[width=10cm]{img_densite.pdf}
   \end{center}
@@ -89,7 +87,7 @@ sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Fonction de répartition à partir de densité)}
 
   Soit $X$ une v.a.r. de fonction de répartition $F$ donnée par
   \[
@@ -113,7 +111,7 @@ sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$
 % -----------------------------------------------
 \begin{exo}\emph{(Apnée)}
 
-  Dans cet exercice, on s'intéresse à l'\emph{apnée statique}, qui consiste à rester immobile immergé dans une piscine. Un individu "quelconque" va à la piscine, et s'entraîne à l'apnée. On appelle $T$ la durée (en minutes) maximale d'apnée statique qu'il réalise\footnote{Le record d'apnée statique est à 11'35'' pour les hommes, 9'02''pour les femmes.}. On suppose que la loi de $T$ est donnée par la fonction de répartition suivante :
+  Dans cet exercice, on s'intéresse à l'\emph{apnée statique}, qui consiste à rester immobile immergé dans une piscine. Un individu \enquote{quelconque} va à la piscine, et s'entraîne à l'apnée. On appelle $T$ la durée (en minutes) maximale d'apnée statique qu'il réalise\footnote{Le record d'apnée statique est à 9'02'' pour les femmes et 11'54'' pour les hommes.}. On suppose que la loi de $T$ est donnée par la fonction de répartition suivante :
   \[
     \forall t \in \R, \quad
     \P(T \le t) = \int_{-\infty}^t f(s) d  s,
@@ -136,14 +134,16 @@ sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$
 
   Soit $U$ une variable aléatoire réelle suivant la loi uniforme sur l'intervalle $]0,1]$.
   \begin{enumerate}
-    \item Rappeler la fonction de répartition $F_U$ de $U$.\\
-    Soit $\sigma$ un réel strictement positif, on définit une nouvelle variable aléatoire réelle, $X$, par
-    \[
-      X= \sigma \sqrt{-2 \log U}.
-    \]
-    \item Calculer la fonction de répartition de $X$, $F_X$.
-    \item La variable aléatoire $X$ est-elle à densité ? Si oui, donner une densité de $X$.
-    \item Retrouver sans calcul la valeur de l'intégrale $\displaystyle{\int_{[0, +\infty[} x \, e^{-x^2/2\sigma^2} d  \lambda_1(x)}$ ?
+    \item Rappeler la fonction de répartition $F_U$ de $U$.
+  \end{enumerate}
+  Soit $\sigma >0$. On définit une nouvelle variable aléatoire réelle, $X$, par
+  \[
+    X= \sigma \sqrt{-2 \log U}.
+  \]
+  \begin{enumerate}[resume]
+    \item Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition $F_X$ de $X$.
+    \item La variable aléatoire $X$ est-elle à densité ? Si oui, donner une densité de $X$ et tracer son graphe.
+    \item Retrouver sans calcul la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_0^\infty te^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} dt$.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
@@ -163,10 +163,18 @@ sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$
 \section{Loi normale}
 % ===============================================
 
+\emph{%
+Dans cette section on suppose connues les valeurs de la fonction de répartition $\Phi$ de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$:
+\[
+   \Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x\operatorname e^{-\frac12t^2}\,\mathrm dt.
+\]
+Autrefois on lisait ces valeurs dans un tableau, de nos jours on utilise une « calculatrice » pour les obtenir.
+}
+
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Notes des etudiants)}
 
-  \emph{Pour cet exercices, on pourra s'aider de la table de la loi normale en page $5$.}  On suppose que les notes d'un contrôle de probabilité suivent une loi normale de paramètre $(8,5;4)$.
+  On suppose que les notes d'un contrôle de probabilité suivent une loi normale de paramètre $(8,5;4)$.
   \begin{enumerate}
     \item Quelle est la probabilité pour un étudiant d'avoir la moyenne ?
     \item On veut améliorer les notes à l'aide d'une transformation affine $Y=aX+b$. Déterminer $a$ et $b$ pour qu'un étudiant ait la moyenne avec une probabilité de $1/2$ et une note supérieure à $8$ avec une probabilité de $3/4$.
@@ -174,9 +182,9 @@ sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Temps de transport)}
 
-  \emph{Pour cet exercices, on pourra s'aider de la table de la loi normale en page $5$.}   Les trajets dont il est question dans cet exercice sont censés suivre des lois normales et être indépendants.
+  Les trajets dont il est question dans cet exercice sont censés suivre des lois normales et être indépendants.
   \begin{enumerate}
     \item Un employé E quitte son domicile à 8h30. La durée moyenne de son trajet à son lieu de travail est 25 minutes et son écart-type 10 minutes. Quelle est la probabilité qu'il arrive avant 9h sur son lieu de travail ?
     \item Un autre employé, F, doit utiliser consécutivement deux moyens de transport pour se rendre à son travail. Il prend le train à 8h20, et son bus démarre à 8h45. La durée moyenne de son trajet en train est 23 minutes et, d'autre part, la probabilité que ce trajet dure entre 18 et 28 minutes est 0,6915. La durée moyenne de son trajet en bus est 14 minutes et son écart-type est 2 minutes. Quel est l'écart-type du trajet en train ? Quelle est la probabilité que $F$ arrive avant 9h sur son lieu de travail ?
@@ -186,4 +194,25 @@ sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
+% -----------------------------------
+\begin{exo}\emph{(Premiers mots et normalité)}
+
+  Un chercheur s'intéresse à l'âge moyen auquel les premiers mots du vocabulaire apparaissent chez les jeunes enfants. Il effectue une étude auprès d’un millier de jeunes enfants. Cette étude montre que les premiers mots apparaissent, en moyenne, à 11,5 mois, avec un écart-type de 3,2 mois. Le chercheur décide alors de modéliser cet âge par une variable aléatoire réelle $X$ de loi normale $\mathcal{N}(11,5 ; 3,2)$.
+  \begin{enumerate}
+    \item Calculer la probabilité qu'un enfant acquière ses premiers mots avant l'âge de 10 mois ?
+    \item Calculer la probabilité qu'un enfant acquière ses premiers mots après l'âge de 18 mois ?
+    \item Afin de détecter d'éventuels problèmes de langage chez un jeune enfant, on décide de définir un seuil d'alerte $s$ (en mois), à partir duquel on considérera qu'il n'est pas \enquote{normal} qu'un enfant n'ait pas acquis ses premiers mots. Le chercheur propose donc de choisir $s$ tel que la probabilité pour qu'un enfant ait acquis ses premiers mots avant $s$ mois soit de $99,8 \%$. Déterminer $s$.
+  \end{enumerate}
+\end{exo}
+
+
+% -----------------------------------------------
+\begin{exo}[.7]\emph{(Loi du $\chi^{2}$)}
+
+  Soit X une variable aléatoire de loi normale $\mathcal{N}(0;1)$ et $Z=X^{2}$. Calculer la fonction de répartition et la densité de $Z$.\\
+  \emph{Remarque : la loi de Z est appelée loi du $\chi^{2}$ à 1 degré de liberté.}
+\end{exo}
+
+
+
 \end{document}

TDs/images/img_densite.tex

 \documentclass[tikz,border=7pt]{standalone}
+\usetikzlibrary{calc,arrows.meta}
 \begin{document}
-  \begin{tikzpicture}[yscale=2]
-    \draw[blue, ultra thick] (-2.7,0) -- (-2,0) -- (1,.5) -- (2,0) -- (2.7, 0);
-    \path (-3,0) edge[-latex] (3,0);
-    \path (0,-.5) edge[-latex] (0,.84);
-    \foreach \x/\lr in {-2/-3.5,-1/-3.5,0/-5,1/0,2/0}{
-      \draw (\x,.05)--(\x,-.05) (\x,-.3)node[xshift=\lr pt, inner sep=0pt]{$\x$};
-    }
-    \draw[dotted] (1,0) |- (0,.5) node[left]{$\frac{1}{2}$};
+  \begin{tikzpicture}[
+    yscale=1,
+    lab/.style = {scale=.7},
+    val/.style = {densely dotted},
+    graph/.style = {thick, blue},
+  ]
+    % axes
+    \draw[-latex] (-2,0) -- (4,0);
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+    % values
+    \path
+      foreach \x in {-2,-1,1,2}{(\x,0) node[below,lab]{$\x$} node[scale=.35]{$|$}}
+      (0,0.5) node[scale=.7]{$-$} node[shift={(4pt,5.9pt)},lab]{$\frac{1}{2}$}
+      (0,0) node[below left,lab]{$0$}
+    ;
+    % max
+    \draw[val] (1,0) |- (0,.5);
+    % graph
+    \draw[graph] (-3,0) -- (-2,0) -- (1,.5) -- (2,0) -- (3.5,0);
   \end{tikzpicture}
 \end{document}