et encore des ajustements dans la fiche 4

TDs/M61B_2023-24_TD4.tex

@@ -39,9 +39,9 @@ Dans toute la fiche, on supposera que les variables aléatoires d'un même exerc
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 \begin{exo}\emph{(Un problème de transit)}
 
-  Deux avions (A et B), contenant respectivement $n_A=20$ et $n_B=40$ passagers, atterrissent  à l'aéroport Charles de Gaulle. Dans l'avion A, qui vient de Séoul (Corée du Sud), chaque passager à une probabilité $ p_A=0,01$ d'être infecté par le coronavirus. Dans le avion B, qui vient de Houston (USA), chaque passager y a une probabilité $p_B=0,2$ d'être infecté. On suppose que les passagers sont tous  indépendants entre eux.
+  Deux avions (A et B), contenant respectivement $n_A=20$ et $n_B=40$ passagers, atterrissent à l'aéroport Charles de Gaulle. Dans l'avion A, qui vient de Séoul (Corée du Sud), chaque passager à une probabilité $ p_A=0,01$ d'être infecté par le coronavirus. Dans le avion B, qui vient de Houston (USA), chaque passager y a une probabilité $p_B=0,2$ d'être infecté. On suppose que les passagers sont tous indépendants entre eux.
   \begin{enumerate}
-    \item On note $X_A$ et $X_B$ le nombre de passager infectés dans  chacun des avions.
+    \item On note $X_A$ et $X_B$ le nombre de passager infectés dans chacun des avions.
     \begin{enumerate}
       \item Quelle est la loi de $X_A$ et $X_B$ ?
       \item Quelle est l'espérance du nombre total de passagers infectés ?
@@ -77,6 +77,16 @@ Dans toute la fiche, on supposera que les variables aléatoires d'un même exerc
 
 \section{Une variable aléatoire discrète}
 
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+\begin{exo}\emph{(Loi image)}
+
+  Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}(3,\frac{1}{4})$ et $f$ la fonction \emph{parité}, c.-à-d. $f(n) = 1$ si $n$ est impaire et $f(n) = 0$ si $n$ est paire.
+  \begin{enumerate}
+    \item Pourquoi $f(X)$ est une variable aléatoire (discrète) ?
+    \item Déterminer la loi de $f(X)$.
+  \end{enumerate}
+\end{exo}
+
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 \begin{exo}\emph{(Deux dés)}
 
@@ -94,6 +104,14 @@ Dans toute la fiche, on supposera que les variables aléatoires d'un même exerc
   Une machine-outil produit à la chaîne des objets manufacturés et l'on sait qu'en période de marche normale la probabilité pour qu'un objet soit défectueux est $p$. On se propose de vérifier la machine. À cet effet, on définit la variable aléatoire $T_r$ égale au nombre minimum de prélèvements successifs qu'il faut effectuer pour amener $r$ objets défectueux. Calculer la loi de $T_r$.
 \end{exo}
 
+
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+\begin{exo}[.7]\emph{(Maximum de la loi de Poisson)}
+
+  Soit $X$ une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$. Pour quelle(s) valeur(s) de $k\in\mathbb{N}$ la probabilité $P(X=k)$ est maximale ?
+\end{exo}
+
+
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 \begin{exo}\emph{(Une autre formule pour l'espérance)}
 
@@ -101,7 +119,7 @@ Dans toute la fiche, on supposera que les variables aléatoires d'un même exerc
   \[
     \EE{X}=\sum_{k=0}^{N-1}\PP{X>k}.
   \]
-  Que peut on dire si $X$ prend ses valeurs dans $\N$ tout entier ?
+  Que peut-on dire si $X$ prend ses valeurs dans $\N$ tout entier ?
 \end{exo}
 
 
@@ -123,27 +141,14 @@ Dans toute la fiche, on supposera que les variables aléatoires d'un même exerc
 
   On considère deux variables $X$ et $Y$ à valeurs dans $\N$, et on suppose que l'on a, pour tout $(j,k)\in \N^2$
   \[
-    \PP{X=j, Y=k}=\frac{(j+k)(1/2)^{j+k}}{j!k!e}.
+    \PP{X=j, Y=k}=\alpha\frac{(j+k)(1/2)^{j+k}}{j!k!}.
   \]
   Cette quantité est la \emph{loi jointe} du couple de variables aléatoires $(X,Y)$, dont $X$et $Y$ sont les \emph{marginales}.
-  \begin{enumerate}
-    \item À partir de cette formule, déterminer la loi de $X$ et la loi de $Y$. Les variables $X$ et $Y$ sont elles indépendantes ?
-    \item Montrer que $ \EE{2^{X+Y}}<\infty$, et la calculer.
-  \end{enumerate}
-\end{exo}
-
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-\begin{exo}\emph{(Variables de Poisson)}
-
-  On considère deux variables $X$ et $Y$ à valeurs dans $\N$, et on suppose que l'on a, pour tout $(j,k)\in \N^2$
-  \[
-    \PP{X=j, Y=k}=\frac{\alpha}{j!k!}.
-  \]
   \begin{enumerate}
     \item Déterminer le réel $\alpha$.
-    \item Déterminer la loi des variables $X$ et $Y$.
+    \item À partir de cette formule, déterminer la loi de $X$ et la loi de $Y$.
     \item Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
-    \item Quelle est l'espérance de $X+Y$.
+    \item Montrer que $ \EE{2^{X+Y}}<\infty$, et la calculer.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
@@ -160,10 +165,10 @@ Dans toute la fiche, on supposera que les variables aléatoires d'un même exerc
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 \begin{exo}\emph{(Minimum de lois géométriques)}
 
-  Soit $N\in \N^*$ et $p\in ]0,1[$.  On considère $N$ variables indépendantes $X_1,\dots, X_N$, chacune de loi géométrique de paramètre $p$.
+  Soit $N\in \N^*$ et $p\in ]0,1[$. On considère $N$ variables indépendantes $X_1,\dots, X_N$, chacune de loi géométrique de paramètre $p$.
   \begin{enumerate}
     \item Soit $i\in\{1,\dots, N\}$ et $n\in \N^*$, déterminer $\PP{X_i\leq n}$ puis $\PP{X_i>n}$.
-    \item On définit la V.A. $Y$ par $Y=\min_{1\leq i\leq N}X_i$, c'est à dire que pour  tout $\omega\in \Omega$, $Y(\omega)=\min\{X_i(\omega), \dots ,X_N(\omega)\}$.
+    \item On définit la v.a. $Y$ par $Y=\min_{1\leq i\leq N}X_i$, c.-à-d. que pour tout $\omega\in \Omega$, $Y(\omega)=\min\{X_i(\omega), \dots ,X_N(\omega)\}$.
     \begin{enumerate}
       \item Soit $n\in\N^*$, calculer $\PP{Y>n}$. En déduire $ \PP{Y\leq n}$. Quelle est la loi de $Y$ ?
       \item $Y$ admet-elle une espérance finie ? Si oui, la calculer.
@@ -186,7 +191,48 @@ Dans toute la fiche, on supposera que les variables aléatoires d'un même exerc
     \]
   \end{enumerate}
 
-  \noindent On dira alors que la distribution \emph{conditionnelle} de $X$ sachant $\{Y=m\}$ est Binomiale$(m,p)$.  Déterminer la loi de $X$.
+  \noindent On dira alors que la distribution \emph{conditionnelle} de $X$ sachant $\{Y=m\}$ est Binomiale$(m,p)$. Déterminer la loi de $X$.
+\end{exo}
+
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+\begin{exo}\emph{(Fonctions génératrices)}
+
+  Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N$. On appelle \emph{fonction génératrice} de $X$ la série entière
+  \[
+    G_X(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\PP{X=n}t^n.
+  \]
+  \begin{enumerate}
+    \item Soit $R$ le rayon de convergence de cette série, montrer que $R \geq 1$.
+    \item À l'aide du théorème de transfert, exprimer $G_X(t)$ comme l'espérance d'une fonction de $X$ pour $t<R$.
+    \item
+    \begin{enumerate}
+      \item Justifier que $G_X$ est de classe $C^\infty$ sur $]-1,1[$.
+      \item En calculant ses premières dérivées, justifier que sa dérivée $k$-ième $G^{(k)}_X$ est donnée par
+      \[
+        G_X^{(k)} =\sum_{n=k}^{+\infty} \P(X=n)\frac{n!}{(n-k)!}t^{n-k}.
+      \]
+      \item Exprimer $G^{(k)}_X$ en fonction de la distribution de $X$.
+      \item En déduire que si $G_X=G_Y$ sur $]-1,1[$ alors $X$ et $Y$ ont même loi.
+    \end{enumerate}
+    \item
+    \begin{enumerate}
+      \item Calculer $G_X$ lorsque $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ puis lorsque $X$ suit une loi binomiale de paramètres $(n,p)$.
+      \item On suppose que $X$ et $Y$ sont indépendantes. Démontrer que pour tout $t\in]-1,1[$
+      \[
+        G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t).
+      \]
+      \item Soit $X\sim \Bin{n,p}$ et $Y\sim \Bin{m,p}$ deux variables aléatoires indépendantes. En utilisant les fonctions génératrices, déterminer la loi de $X+Y$. Retrouver ce résultat sans les fonctions génératrices.
+    \end{enumerate}
+    \item On suppose maintenant que $R>1$.
+    \begin{enumerate}
+      \item On suppose que $X$ est intégrable, i.e. $\sum_{n=0}^{+\infty} n \P(X=n)<+\infty$. Calculer la dérivée $G'_X$ de $G_X$ et exprimer $\E(X)$ en fonction de $G'_X$.
+      \item On suppose maintenant que $X$ est de carré intégrable, i.e. $\sum_{n=0}^{+\infty} n^2 \P(X=n)<+\infty$. Calculer $G''_X$ et montrer que
+      \[
+        \E(X^2)=G''_X(1)+G'_X(1).
+      \]
+      \item En déduire en fonction de $G_X$ l'expression de la variance de $X$.
+    \end{enumerate}
+  \end{enumerate}
 \end{exo}
 
 
@@ -233,7 +279,7 @@ Dans toute la fiche, on supposera que les variables aléatoires d'un même exerc
     \[
       \sum_{n\in\N^*}P(F_n)=+\infty\quad \textrm{et}\quad P(F)=\frac{1}{2}.
     \]
-    \item Expliquer pourquoi ceci n'est en contradiction ni avec le lemme de Borel-Cantelli, ni avec la loi du \enquote{zéro-un} de Borel.
+    \item Expliquer pourquoi ceci n'est en contradiction ni avec le lemme de Borel-Cantelli, ni avec la loi du \enquote{zéro-un} de Borel\footnote{Appelé également \enquote{deuxième lemme de Borel-Cantelli}.}.
   \end{enumerate}
 \end{exo}