supression de deux exercices de la fiche 7

TDs/M61B_2024-25_TD7.tex

@@ -178,29 +178,18 @@
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Une loi à reconnaître)}
-
-  Soit $\rho$ la fonction définie sur $\R$ par $\rho(x)=\frac{1}{2(1+|x|)^2}$.
-  \begin{enumerate}
-    \item Démontrer que $\rho$ est la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$.
-    \item On considère la variable aléatoire $Y=\ln(1+|X|)$. Calculer sa fonction de répartition.
-    \item Reconnaître la loi de $Y$.
-  \end{enumerate}
-\end{exo}
-
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 \begin{exo}\emph{(Entropie)}
 
   Étant donné $X$ une variable aléatoire réelle de densité $f_X$, on appelle entropie de $X$ la quantité suivante, si elle existe,
   \[
-    h(X)=-\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\log f_X(x) dx.
+    h(X)=-\int_{-\infty}^\infty f_X(t)\log f_X(t) dt.
   \]
   \begin{enumerate}
     \item Calculer l'entropie d'une loi aléatoire uniforme sur le segment $[a,b]$.
     \item On suppose que $X$ suit une loi normale, d'espérance $m$ et variance $\sigma^2$, i.e. $X\sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$, dont on rappelle la densité
     \[
-      f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}.
+      f_X(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(t-m)^2}{2\sigma^2}}.
     \]
     \begin{enumerate}
       \item Rappeler l'expression de l'espérance et de la variance de $X$, sous formes d'intégrales de $f_X$.
@@ -208,26 +197,18 @@
     \end{enumerate}
     \item On souhaite prouver que, parmi les variables aléatoires de variance donnée, les lois normales admettent une entropie maximale. On fixe $Y$ une variable aléatoire réelle centrée (c’est-à-dire d'espérance nulle), de densité $f_Y$ et de variance $\sigma^2$, admettant une entropie. On note $\varphi$ la densité d'une loi normale centrée ($m=0$), de variance $\sigma^2$. On suppose que les fonctions
     \[
-      x\mapsto f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)} \quad \text{ et }\quad x\mapsto f_Y(x)\log\varphi(x)
+      t\mapsto f_Y(t)\log\frac{\varphi(t)}{f_Y(t)} \quad \text{ et }\quad t\mapsto f_Y(t)\log\varphi(t)
     \]
     sont intégrables sur $\R$.
     \begin{enumerate}
-      \item Démontrer que pour tout $x>0$, $\log x \leq x-1$.
+      \item Démontrer que pour tout $t>0$, $\log t \leq t-1$.
       \item Vérifier que
        \[
-        h(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)}dx - \int_{-\infty}^{+\infty} f_Y(x)\log\varphi(x)dx.
+        h(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(t)\log\frac{\varphi(t)}{f_Y(t)}dt - \int_{-\infty}^{+\infty} f_Y(t)\log\varphi(t)dt.
       \]
       \item En déduire que $h(Y)\leq \frac 12(1+\log(2\pi \sigma^2)).$
     \end{enumerate}
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
-
-  Le nombre d'accidents en une semaine dans une usine est une v.a. de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$. Le nombre d'individus blessés dans un accident est une v.a. de moyenne $\nu$ et de variance $\tau^2$. Les nombres d'individus blessés dans des accidents différents sont indépendants.
-
-  Donner l'espérance et la variance du nombre d'individus blessés en une semaine.
-\end{exo}
-
 \end{document}

TDs/M61B_2024-25_TD_Complements.tex

@@ -290,6 +290,16 @@
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
+% -----------------------------------------------
+\begin{exo}\emph{(Une loi à reconnaître)}
+
+  Soit $\rho$ la fonction définie sur $\R$ par $\rho(x)=\frac{1}{2(1+|x|)^2}$.
+  \begin{enumerate}
+    \item Démontrer que $\rho$ est la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$.
+    \item On considère la variable aléatoire $Y=\ln(1+|X|)$. Calculer sa fonction de répartition.
+    \item Reconnaître la loi de $Y$.
+  \end{enumerate}
+\end{exo}
 
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 \section{Intégrale de Lebesgue}