rajout de l'exo 2 du DS2 à la fiche 7

TDs/M61B_2024-25_TD7.tex

@@ -121,10 +121,7 @@
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 \begin{exo}\emph{(Loi de Laplace)}
 
-  On considère une variable aléatoire $X$ dont la densité est donnée par
-  \[
-    f(x)=ce^{-|x|}.
-  \]
+  On considère une variable aléatoire $X$ dont la densité est donnée par $f(x)=ce^{-|x|}$.
   \begin{enumerate}
     \item Calculer $c$.
     \item Démontrer que $X$ admet des moments de tout ordre. Les calculer.
@@ -167,6 +164,20 @@
 
 \end{exo}
 
+% ----------------------------------------------- 2
+\begin{exo}\emph{(Loi log-normale, DS2 de 2024)}
+
+  Soient $\mu \in \R$ et $\sigma \in \R^{*}$. Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $]0,+\infty[$ est dite suivre une loi \emph{log-normale} de paramètres $(\mu, \sigma^2)$ si $Y = \log X$ suit la loi gaussienne $\Nor{\mu,\sigma^2}$. On note $\LogNor{\mu,\sigma^2}$ la loi log-normale de paramètres $(\mu, \sigma^2)$.
+  \begin{enumerate}
+    \item Exprimer $X$ à l'aide d'une variable $Z$ (à préciser) qui suit une loi normale centrée réduite.
+    En déduire la fonction de répartition de $X$ à l'aide de la fonction $\Phi$ de répartition de $Z$.
+    Calculer ensuite explicitement la densité de $X$.
+    \item Calculer l'espérance de $X$.
+    \item Montrer que $X^r\sim\LogNor{r\mu,r^2\sigma^2}$ pour tout $r \neq 0$. En déduire la valeur de $\EE{X^r}$ pour tout $r\in\R$. Calculer la variance de $X$.
+    \item Calculer $\EE{e^{uX}}$ pour tout $u >0$.
+  \end{enumerate}
+\end{exo}
+
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 \begin{exo}\emph{(Une loi à reconnaître)}