Dans cet exercice, on s'intéresse à l'\emph{apnée statique}, qui consiste à rester immobile immergé dans une piscine. Un individu \enquote{quelconque} va à la piscine, et s'entraîne à l'apnée. On appelle $T$ la durée (en minutes) maximale d'apnée statique qu'il réalise\footnote{Le record d'apnée statique est à 9'02'' pour les femmes et 11'54'' pour les hommes.}. On suppose que la loi de $T$ est donnée par la fonction de répartition suivante :
Dans tout l'exercice, $X$ désigne une variable aléatoire à valeurs dans $]0,1[$ et de loi uniforme sur $]0,1[$. On pose
\[
\[
\forall t \in\R, \quad
Z\coloneqq\frac{1-X}{X}.
\P(T \le t)=\int_{-\infty}^t f(s) d s,
\quad\text{avec}\quad
f(s)=
\begin{cases}
0&\text{ si }s<0\text{ ou }s \geq10, \\
\lambda s(10-s)&\text{ si }0\leq s < 10,
\end{cases}
\]
\]
où $\lambda$ est un réel strictement positif.
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Donner l'allure du graphe de la fonction $f$.
\item Calculer explicitement la fonction de répartition de la variable aléatoire positive $Z$.\\ Dessiner son graphe.
\item Calculer la fonction de répartition de $T$. En déduire $\lambda$.
\item La loi de $Z$ est-elle à densité ? Si oui, la calculer et dessiner son graphe.
\item Expliquer, si possible sans calcul, pourquoi $Z$ et $1/Z$ ont \emph{même loi}.
\item On brise une tige de longueur $1$ en choisissant au hasard le point de rupture suivant une loi uniforme sur $]0,1[$. Quelle est la probabilité que l'un des deux morceaux soit plus de deux fois plus long que l'autre ?
