fiche 5 en 4 pages avec 4 séctions pour 4 séances

Exam/m61proba.tex

@@ -56,6 +56,7 @@
 % lois
 \newcommand{\Ber}[1]{\operatorname{Ber}(#1)}% loi de Bernoulli
 \newcommand{\Bin}[1]{\operatorname{Bin}(#1)}% loi binomiale
+\newcommand{\Poi}[1]{\mathcal{P}(#1)}% loi de Poisson
 \newcommand{\Exp}[1]{\mathcal{E}(#1)}% loi exponentielle
 \newcommand{\Uni}[1]{\mathcal{U}(#1)}% loi uniforme
 \newcommand{\Nor}[1]{\mathcal{N}(#1)}% loi normale

TDs/M61B_2024-25_TD5.tex

@@ -71,17 +71,18 @@
 \begin{exo}\emph{(Interprétation du graphique d'une densité)}
 
   La variable aléatoire $X$ a pour densité la fonction $f$ ci-dessous :
-  \begin{center}
-    \includegraphics[width=10cm]{img_densite.pdf}
-  \end{center}
   \begin{enumerate}
-    \item En exploitant les informations fournies par ce graphique, donner les valeurs des probabilités suivantes:
-    \[
-      \begin{array}{lll}
-        \PP{X\leq -2},\quad & \PP{X=-1},\quad & \PP{X\in[-2;0]},\\
-        \PP{X>1},           & \PP{X \ge 1},              & \PP{|X| > 1}.
-      \end{array}
-    \]
+    \item En exploitant les informations du graphique, donner les valeurs des probabilités suivantes:\vspace{-17pt}
+      \imageR[width=70mm, y offset=-11pt]{%
+        img_densite.pdf
+      }{%
+        \[
+          \begin{array}{lll}
+            \PP{X\leq -2},\quad & \PP{X=-1},\quad & \PP{X\in[-2;0]},\\
+            \PP{X>1},           & \PP{X \ge 1},              & \PP{|X| > 1}.
+          \end{array}
+        \]
+      }\vspace{4pt}
     \item Déterminer la fonction de répartition de $X$.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
@@ -90,7 +91,9 @@
 \begin{exo}\emph{(Fonction de répartition à partir de densité)}
 
   Soit $X$ une v.a.r. de fonction de répartition $F$ donnée par
+  \vspace{-11pt}
   \[
+    \qquad
     \forall u \in \R, \quad
     F(u) = \int_{-\infty}^u f(t) d  t,
       \quad \text{avec} \quad
@@ -101,6 +104,7 @@
           0      & \text{sinon.}
       \end{cases}
   \]
+  \vspace{-21pt}
   \begin{enumerate}
     \item Représenter $f$.
     \item Calculer $F$, et en déduire $\alpha$.
@@ -152,8 +156,6 @@
 \section{Loi exponentielle}
 % ===============================================
 
-\newcommand*{\eexp}[1]{\operatorname{e}^{#1}}
-
 % -----------------------------------------------
 \begin{exo}\emph{(Simulation)}
 
@@ -165,28 +167,14 @@
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Loi de Pareto)}
-
-  \begin{enumerate}
-    \item Soit $Y:\Omega\to\R$ une variable aléatoire. On note $ F_Y $ sa fonction de répartition. Exprimer à partir de $ F_Y $ la fonction de répartition $ F_Z $ de la variable aléatoire $Z=\eexp{Y}$.
-    \item Soit $a$ un réel strictement positif fixé. On définit la fonction $ f $ par
-    \[
-      f(t)=\frac{a}{t^{a+1}}\1_{[1,+\infty[}(t).
-    \]
-    Calculer $ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dd x$. En déduire que $ f $ est une densité de probabilité. La loi de densité $f$ s'appelle \emph{loi de Pareto} de paramètre $a$.
-    \item Une variable aléatoire $X$ a pour densité $ f $. Calculer la fonction de répartition $ F_X $ de $ X $.
-    \item Soit $Y\sim\Exp{a}$ est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre $a$, donc de densité $g(t)=a\eexp{-at}\1_{]0, +\infty[}(t)$. Quelle est la loi de $Z=\eexp{Y}$ ?
-  \end{enumerate}
-\end{exo}
-
 % -----------------------------------------------
 \begin{exo}\emph{(Désintégration radioactive)}
+  \newcommand*{\eexp}[1]{\operatorname{e}^{#1}}
 
   On dit qu'une variable aléatoire $T$ à valeurs dans $\mathbb R_+$ est \emph{sans mémoire} si elle vérifie, pour tous $s,t> 0$.
-  $$
+  \[
     \PP{T>t+s}=\PP{T>t}\PP{T>s}.
-  $$
+  \]
   \begin{enumerate}
     \item Montrer que si $T$ est une v.a. sans mémoire alors $\PP{T> t+s \mid T> t}=\PP{T>s}$, pour tous $s,t> 0$.
     \item Soit $T\sim\Exp{a}$ est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre $a$, donc de densité $g(t)=a\eexp{-at}\1_{]0, +\infty[}(t)$. Montrer que $T$ est sans mémoire.
@@ -205,7 +193,6 @@
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
-
 % ===============================================
 \section{Loi normale}
 % ===============================================

TDs/images/img_densite.tex

 \documentclass[tikz,border=7pt]{standalone}
 \usetikzlibrary{calc,arrows.meta}
+\usepackage{amsmath}
 \begin{document}
   \begin{tikzpicture}[
-    yscale=1,
+    yscale=1.5,
     lab/.style = {scale=.7},
     val/.style = {densely dotted},
     graph/.style = {thick, blue},
   ]
     % axes
-    \draw[-latex] (-2,0) -- (4,0);
-    \draw[-latex] (0,-.2) -- (0,1.1);
+    \draw[-latex] (-2.3,0) -- (2.5,0);
+    \draw[-latex] (0,-.2) -- (0,0.9);
     % values
     \path
       foreach \x in {-2,-1,1,2}{(\x,0) node[below,lab]{$\x$} node[scale=.35]{$|$}}
-      (0,0.5) node[scale=.7]{$-$} node[shift={(4pt,5.9pt)},lab]{$\frac{1}{2}$}
+      (0,0.5) node[scale=.7]{$-$} node[shift={(-4.5pt,0pt)},lab, scale=1.3]{$\frac{1}{2}$}
       (0,0) node[below left,lab]{$0$}
     ;
     % max
     \draw[val] (1,0) |- (0,.5);
     % graph
-    \draw[graph] (-3,0) -- (-2,0) -- (1,.5) -- (2,0) -- (3.5,0);
+    \draw[graph] (-2.3,0) -- (-2,0) -- (1,.5) -- (2,0) -- (2.3,0);
   \end{tikzpicture}
 \end{document}

TDs/m61proba.tex

@@ -56,6 +56,7 @@
 % lois
 \newcommand{\Ber}[1]{\operatorname{Ber}(#1)}% loi de Bernoulli
 \newcommand{\Bin}[1]{\operatorname{Bin}(#1)}% loi binomiale
+\newcommand{\Poi}[1]{\mathcal{P}(#1)}% loi de Poisson
 \newcommand{\Exp}[1]{\mathcal{E}(#1)}% loi exponentielle
 \newcommand{\Uni}[1]{\mathcal{U}(#1)}% loi uniforme
 \newcommand{\Nor}[1]{\mathcal{N}(#1)}% loi normale