rajout du DS2 du 18 avril 2024

Exam/M61B_2023-24_DS2.tex

+\documentclass[a4paper,12pt,reqno]{amsart}
+\usepackage{lille}
+\lilleset{
+  % solutions,
+  % sans enonces,
+  titre=\sisujet{Examen final}\sisolutions{Solutions de l'examen},
+  date=18 avril 2024,
+  duree=3 heures,
+}
+\input{m61proba}
+
+\begin{document}
+\sisujet{
+  \tsvp
+  \vspace{7mm}
+  \attention~
+  \emph{Les documents et les objets électroniques sont interdits. Les exercices sont indépendants. Toutes les réponses doivent être justifiées.}
+  \vspace{7mm}
+}
+
+% ----------------------------------------------- 1
+\begin{exo}
+
+  Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes. On suppose que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $\alpha$ et que $Y$ suit la loi géométrique de paramètre $\beta$, avec $\alpha,\beta\in ]0, 1[$. On note
+  \[
+    Z \coloneqq \min(X, Y).
+  \]
+  \begin{enumerate}
+    \item Pour tout $k\in\N$, calculer $\PP{X > k}$ et $\PP{Y > k}$.
+    \item Calculer $\PP{Z > k}$, puis en déduire la loi de $Z$. Identifier cette loi.
+  \end{enumerate}
+\end{exo}
+
+\begin{solution}
+
+  \begin{enumerate}
+    \item Pour tout $k\in\N$, on a
+    \[
+      \PP{X > k}
+      = \sum_{j > k} \PP{X = j}
+      = \sum_{j \geq k+1} \alpha(1-\alpha)^{j-1}
+      = \alpha(1-\alpha)^k\frac{1}{1-(1-\alpha)}
+      = (1-\alpha)^k,
+    \]
+    en utilisant la somme de la série géométrique de premier terme $\alpha(1-\alpha)^k$ et de raison $(1-\alpha)\in]0,1[$. De même, on trouve
+    \[
+      \PP{Y > k} = (1-\beta)^k.
+    \]
+
+    \item Pour tout $k\in\N$, on a
+    \[
+      \PP{Z > k}
+      = \PP{X > k,\, Y > k}
+      = \PP{X>k}\times\PP{Y > k}
+      = ((1-\alpha)(1-\beta))^k
+    \]
+    par indépendance de $X$ et $Y$. En posant $\gamma \coloneqq \alpha + \beta - \alpha\beta$ on trouve $\PP{Z > k} = (1-\gamma)^k$. Ainsi, pour tout $k\geq 1$,
+    \[
+      \PP{Z = k}
+      = \PP{Z > k-1} - \PP{Z > k}
+      = \gamma(1-\gamma)^{k-1}.
+    \]
+    Comme $Z = \min(X,Y)\geq 1$, vu que $X\geq 1$ et $Y\geq 1$, ceci signifie que $Z$ suit une loi géométrique de paramètre $\gamma$. On vérifie aussi que $\gamma\in ]0,1[$, puisque $\alpha,\beta\in ]0,1[$.
+  \end{enumerate}
+
+\end{solution}
+
+
+% ----------------------------------------------- 2
+\begin{exo}
+
+  Soient $\mu \in \R$ et $\sigma \in \R^{*}$. Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $]0,+\infty[$ est dite suivre une loi \emph{log-normale} de paramètres $(\mu, \sigma^2)$ si $Y = \log X$ suit la loi gaussienne $\Nor{\mu,\sigma^2}$. On note $\LogNor{\mu,\sigma^2}$ la loi log-normale de paramètres $(\mu, \sigma^2)$.
+  \begin{enumerate}
+    \item Exprimer $X$ à l'aide d'une variable $Z$ (à préciser) qui suit une loi normale centrée réduite.
+    En déduire la fonction de répartition de $X$ à l'aide de la fonction $\Phi$ de répartition de $Z$.
+    Calculer ensuite explicitement la densité de $X$.
+    \item Calculer l'espérance de $X$.
+    \item Montrer que $X^r\sim\LogNor{r\mu,r^2\sigma^2}$ pour tout $r \neq 0$. En déduire la valeur de $\EE{X^r}$ pour tout $r\in\R$. Calculer la variance de $X$.
+    \item Calculer $\EE{e^{uX}}$ pour tout $u >0$.
+  \end{enumerate}
+\end{exo}
+
+\begin{solution}
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{s2a} On a $X = e^Y$ avec $Y\sim\Nor{\mu, \sigma^2}$. En posant $Z\coloneqq \frac{Y-\mu}{\sigma}$ on trouve $X = e^{\mu +\sigma Z}$ avec $Z\sim\Nor{0, 1}$. Comme $X\geq0$, on en déduit $\PP{X\leq x} = 0$ pour tout $x\leq 0$, et pour tout $x > 0$ on a
+    \[
+      \PP{X \leq x}
+       = \PP{Z \leq \frac{\log x - \mu}{\sigma}}
+       = \Phi\pa{\frac{\log x - \mu}{\sigma}}.
+    \]
+     En dérivant on trouve que la densité de $X$ vaut
+    \[
+      \rho_X(x)
+      = \rho_Z\pa{\frac{\log x - \mu}{\sigma}}\frac{1}{\sigma x}
+      = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{(\log x -\mu)^2}{2\sigma^2}\right]
+    \]
+    sur $]0,\infty[$ et zéro ailleurs.
+
+    \item\label{s2b} En utilisant le théorème de transfert, on trouve
+    \[
+      \EE{X}
+      = \EE{e^{\mu +\sigma Z}}
+      = e^{\mu}\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{\sigma t} e^{-\frac{t^2}{2}} \dd t
+      = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(t-\sigma)^2}{2}} \dd t
+      = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}.
+    \]
+
+    \item On a
+    \[
+      X^r = e^{r\mu + (r\sigma) Z}
+    \]
+    et ceci entraîne par \eqref{s2a} que $X^r\sim\LogNor{r\mu,r^2\sigma^2}$ pour tout $r \neq 0$, et donc par \eqref{s2b} que
+    \[
+      \EE{X^r} = e^{r\mu + r^2\sigma^2/2}
+    \]
+    pour tout $r\in\R$. On en déduit la variance de $X$
+    \[
+      \VV{X}
+      = \EE{X^2} - \bpa{\EE{X}}^2
+      = e^{2\mu + 2\sigma^2} - e^{2\mu + \sigma^2}
+      = e^{2\mu + \sigma^2} (e^{\sigma^2} -1).
+    \]
+
+    \item On a par le \eqref{s2a}, et en appliquant le théorème de transfert,
+    \[
+      \EE{e^{uX}}
+      = \EE{e^{ue^{\mu + \sigma Z}}}
+      = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R e^{ue^{\mu + \sigma x} - x^2/2} \dd x
+      = \infty
+    \]
+    puisque $u, \sigma > 0$ et donc $e^{ue^{\mu + \sigma x} - x^2/2}\to\infty$ quand $x\to\infty$.
+
+  \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+
+
+% ----------------------------------------------- 3
+\begin{exo}
+
+  \emph{Les trois questions dans cet exercice sont indépendantes les unes des autres.}
+  \begin{enumerate}
+    \item Montrer que
+    \[
+      \sum_{n\geq 0} e^{-nx} = \frac{1}{1-e^{-x}}
+    \]
+    pour tout $x > 0$. En appliquant le théorème de convergence monotone, en déduire que
+    \[
+      \int_0^\infty \frac{x e^{-x}}{1-e^{-x}} \dd x = \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}\cdot
+    \]
+    Connaissez-vous la valeur de cette série ?
+
+    \item En utilisant le théorème de convergence dominée, calculer explicitement
+    \[
+      \lim_{n\to\infty} \pa{\int_0^\infty \frac{n^2 \sin(x/n)}{(1+nx)(1+x^2)} \dd x}.
+    \]
+
+    \medskip
+
+    \item En utilisant le lemme de Fatou, montrer que
+    \[
+      \lim_{n\to\infty} \pa{ \int_0^\infty \frac{n}{\sin^2 n + nx^2} \dd x} = \infty.
+    \]
+  \end{enumerate}
+
+\end{exo}
+
+\begin{solution}
+  \begin{enumerate}
+    \item Comme $x > 0$ on a $e^{-x} \in ]0,1[$ et donc
+    \[
+      \sum_{n\geq 0} e^{-nx} = \frac{1}{1-e^{-x}}
+    \]
+    par la somme de la série géométrique. On en déduit
+    \[
+      \int_0^\infty \frac{x e^{-x}}{1-e^{-x}} \dd x
+      = \int_0^\infty \sum_{n\geq 0} x e^{-x}e^{-nx} \dd x
+      = \int_0^\infty \lim_{n\to\infty}\sum_{k= 0}^n x e^{-x}e^{-kx} \dd x
+    \]
+    Comme la série est à termes positifs, la suite des sommes partielles est positive est croissante, donc on peut appliquer le théorème de convergence monotone qui entraîne
+    \[
+      \int_0^\infty \frac{x e^{-x}}{1-e^{-x}} \dd x
+      = \lim_{n\to\infty}\int_0^\infty \sum_{k= 0}^n x e^{-(k+1)x} \dd x
+      = \lim_{n\to\infty} \sum_{k= 0}^n \pa{ \int_0^\infty x e^{-(k+1)x} \dd x}.
+    \]
+    Comme
+    \[
+      \int_0^\infty x e^{-(k+1)x} \dd x
+      = \frac{1}{(k+1)^2}\int_0^\infty y e^{-y} dy
+      = \frac{1}{(k+1)^2}
+    \]
+    pour tout $k\geq 0$ en ayant fait le changement de variable $y = (k+1) x$, on trouve finalement
+    \[
+      \int_0^\infty \frac{x e^{-x}}{1-e^{-x}} \dd x
+      = \lim_{n\to\infty} \sum_{k= 0}^n \frac{1}{(k+1)^2}
+      = \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}\cdot
+    \]
+    Et oui, nous connaissons bien la valeur de cette série qui est $\pi^2/6$ (problème de Bâle).
+
+    \item On a
+    \[
+      \frac{n^2 \sin(x/n)}{(1+nx)(1+x^2)}
+      = \frac{nx}{1+nx}\times\frac{\sin(x/n)}{(x/n)}\times\frac{1}{1+x^2}\to \frac{1}{1+x^2}
+    \]
+    quand $n\to\infty$ pour tout $x > 0$ puisque $(\sin z)/z\to 1$ quand $z\to 0$. D'autre part on a $\vert (\sin (x/n))/(x/n)\vert < 1$ et $nx/(1+nx) < 1$ pour tout $x > 0$ et $n\geq 0$, d'où
+    \[
+      \abs{\frac{n^2 \sin(x/n)}{(1+nx)(1+x^2)}} < \frac{1}{1+x^2}
+    \]
+    pour tout $x > 0$ et $n\geq 0$, et la fonction de droite est intégrable. Par le théorème de convergence dominée, on obtient
+    \[
+      \lim_{n\to\infty} \pa{\int_0^\infty \frac{n^2 \sin(x/n)}{(1+nx)(1+x^2)} \dd x}
+      = \int_0^\infty \frac{1}{1+x^2} \dd x
+      = \frac{\pi}{2}\cdot
+    \]
+
+    \item On a
+    \[
+      \frac{n}{\sin^2 n + nx^2} = \frac{1}{x^2 + (\sin^2 n/n)} \to \frac{1}{x^2}
+    \]
+    quand $n\to\infty$ et donc
+    \[
+      \liminf_{n\to\infty}\pa{ \frac{n}{\sin^2 n + nx^2}} = \frac{1}{x^2}
+    \]
+    pour tout $x > 0$.
+    Par le lemme de Fatou, on a
+    \[
+      \liminf_{n\to\infty} \pa{ \int_0^\infty \frac{n}{\sin^2 n + nx^2} \dd x}
+      \geq \int_0^\infty \liminf_{n\to\infty} \pa{\frac{n}{\sin^2 n + nx^2}} \dd x
+      = \int_0^\infty \frac{dx}{x^2}
+      = \infty
+    \]
+    et donc
+    \[
+      \lim_{n\to\infty} \pa{ \int_0^\infty \frac{n}{\sin^2 n + nx^2} \dd x}
+      = \infty.
+    \]
+  \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+
+% ----------------------------------------------- 4
+\begin{exo}
+
+  Soit $\suite[n\geq 1]{X_n}$ une suite de variables aléatoires suivant une loi exponentielle de paramètre 1, dont on rappelle que la densité est donnée par $e^{-x}\un{x >0}$ sur $\R$. On suppose que les $X_n$ sont mutuellement indépendantes. On note $M_0 = 0$ et
+  \[
+    M_n \coloneqq \max (X_1, \ldots, X_n), \qquad n\geq 1.
+  \]
+  \begin{enumerate}
+    \item Calculer la fonction de répartition $F_n (x) = \PP{M_n \leq x}$ pour tout $n\geq 1$ et $x\in\R$. En déduire $G_n (x) \coloneqq \PP{M_n - \log n \leq x}$ pour tout $n\geq 1$ et $x\in\R$.
+
+    \item\label{4b} Calculer la fonction de répartition de $Z_1 = -\log X_1$. En déduire à l'aide de la question précédente et d'un équivalent approprié que
+    \[
+      M_n - \log n \darrow -\log X_1
+    \]
+    quand $n\to \infty$.
+
+    \item En utilisant les fonctions $F_n$ et $F_{n-1}$, montrer que
+    \[
+      \EE{M_n} = \EE{M_{n-1}} + \frac{1}{n}
+    \]
+    pour tout $n\geq 1$. En déduire que
+    \[
+      \EE{M_n} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\cdot
+    \]
+    \indication{On rappelle la formule $\EE{X} = \int_{0}^{\infty}\pa{1-F_X(t)} \dd t - \int_{-\infty}^{0}F_X(t) \dd t$, où $F_{X}$ est la fonction de répartition de $X$.}
+
+    \item En utilisant le théorème de convergence dominée et la question \eqref{4b}, montrer que
+    \[
+      \EE{M_n} - \log n \to \EE{-\log X_1}
+    \]
+    quand $n\to\infty$.\\
+    \indication{On rappelle que $\log(1-z)\leq -z$ pour tout $z < 1$ et on pourra vérifier que $\log(1-z)\geq -2z$ pour tout $z\in [0,1/2]$.}
+
+    \item En utilisant tout ce qui précède, montrer que la suite
+    \[
+      u_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \log n
+    \]
+    converge quand $n\to\infty$ vers une constante finie, que l'on exprimera sous forme intégrale. Connaissez-vous le nom de cette constante ? Est-elle un nombre rationnel ?
+  \end{enumerate}
+\end{exo}
+
+\begin{solution}
+  \begin{enumerate}
+    \item Rappelons que la fonction de répartition de la loi exponentielle est $F(x) = \pa{1 - e^{-x}}_+$, avec la notation $z_+ \coloneqq \max(0,z)$ pour tout $z\in\R$.
+    Pour tout $n\geq 1$, on trouve
+    \[
+      \PP{M_n \leq x}
+      = \PP{X_1\leq x, \ldots, X_n\leq x}
+      = \PP{X_1 \leq x} \times\cdots\times\PP{X_n \leq x}
+      = (1-e^{-x})_+^n.
+    \]
+    On en déduit, pour tout $n\geq 1$ et $x\in\R$,
+    \[
+      G_n (x)
+      = \PP{M_n \leq x + \log n}
+      = \pa{1 - \frac{e^{-x}}{n}}_+^n.
+    \]
+    \item\label{s4b} Pour tout $x\in\R$, on calcule
+    \[
+      \PP{Z_1 \leq x}
+      = \PP{\log X_1 \geq -x}
+      = \PP{X_1 \geq e^{-x}} = e^{-e^{-x}},
+    \]
+    car $\PP{X_1 \geq \alpha} = \PP{X_1 > \alpha} = e^{-\alpha}$ pour $\alpha \geq 0$. On en déduit que
+    \[
+      G_n (x)
+      = \pa{1 - \frac{e^{-x}}{n}}_+^n
+      = \exp\left[n \log\pa{1 - \frac{e^{-x}}{n}}\right]
+    \]
+    pour tout $x > -\log n$ et donc, à l'aide de l'équivalent $\log(1-z)\sim z$ quand $z\to 0$ que
+    \[
+      \PP{M_n - \log n \leq x} \to e^{-e^{-x}}
+      = \PP{Z_1 \leq x}
+    \]
+    quand $n\to \infty$ pour tout $x\in\R$ puisqu'à partir d'un certain rang on aura $x \geq -\log n\to -\infty$ quand $n\to \infty$. Ceci entraîne par définition que
+    \[
+      M_n - \log n \darrow -\log X_1
+    \]
+    quand $n\to \infty$.
+
+    \item Comme $M_n$ est une variable aléatoire positive, on peut utiliser la formule
+    \[
+      \EE{M_n} = \int_0^\infty \PP{M_n > x} dx
+      = \int_0^\infty (1- F_n(x)) dx
+      = \int_0^\infty \pa{1 - (1- e^{-x})^n} dx
+    \]
+    pour tout $n\geq 1$. Comme
+    \[
+      1 - (1- e^{-x})^n
+      = 1 - (1- e^{-x})^{n-1} + e^{-x} (1- e^{-x})^{n-1}
+    \]
+    on obtient
+    \[
+      \EE{M_n}
+      = \EE{M_{n-1}} + \int_0^\infty e^{-x} (1- e^{-x})^{n-1} dx
+      = \EE{M_{n-1}} + \int_0^1 (1- z)^{n-1} dz
+    \]
+    en faisant le changement de variable $z = e^{-x}$, ce qui donne
+    \[
+      \EE{M_n}
+      = \EE{M_{n-1}} + \frac{1}{n}
+    \]
+    et donc
+    \[
+      \EE{M_n} \;
+      = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}
+    \]
+    par itération, puisque $\EE{M_1} =\EE{X_1} = 1$.
+
+    \item On a
+    \[
+      \EE{M_n} - \log n
+      = \EE{M_n -\log n}
+      = \int_0^\infty (1-G_n(x)) dx - \int_{-\infty}^0 G_n(x) dx
+    \]
+    par la formule du cours sur l'espérance d'une variable aléatoire réelle.
+    Par \eqref{s4b} on a $G_n(x)\to G(x) = \PP{-\log X_1 \leq x}$ pour tout $x\in\R$ et sous les hypothèses du théorème de convergence dominée on aura donc
+    \[
+      \EE{M_n} - \log n \to \int_0^\infty (1-G(x)) dx - \int_{-\infty}^0 G(x) dx
+      = \EE{-\log X_1}
+    \]
+    quand $n\to\infty$ comme requis. Reste à vérifier les hypothèses du théorème de convergence dominée. On sait que $\log(1-z)\leq -z$ pour tout $z < 1$ et donc
+    \[
+      G_n(x)
+      = \exp\left[n \log\pa{1 - \frac{e^{-x}}{n}}_+\right] \leq e^{-e^{-x}}
+    \]
+    pour tout $x\geq 0$, et le terme de droite est une fonction intégrable sur $(-\infty,0)$. On vérifie aussi que $1- z \geq e^{-2z}$ pour tout $z\in [0,1/2]$ puisque la fonction $z\mapsto 1 -z -e^{-2z}$ est nulle en $z=0$, strictement positive en $z=1/2$ et de dérivée $2e^{-2z} -1$ qui est positive puis négative. Ceci entraîne par croissance du logarithme
+    \[
+      1- G_n(x)
+      = 1 - \exp\left[n \log\pa{1 - \frac{e^{-x}}{n}}\right] \leq 1- e^{-2e^{-x}}
+    \]
+    pour tout $x\geq 0$ et $n\geq 2$, avec $1- e^{-2e^{-x}} \leq 2e^{-x}$ qui est bien une fonction intégrable sur $]0,\infty[$.
+
+    \item En utilisant tout ce qui précède, on voit que
+    \[
+      u_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \log n \to \;\EE{-\log X_1}
+    \]
+    quand $n\to\infty$. Et par la formule de transfert on a
+    \[
+      \EE{-\log X_1}
+      = \int_0^\infty (-\log x) e^{-x} dx
+    \]
+    qui est bien une intégrale convergente en zéro et en l'infini. Il s'agit de la constante $gamma$ d'Euler, dont on ne sait pas si elle est rationnelle ou non (mais on pense que non).
+  \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\end{document}
+

Exam/m61proba.tex

@@ -25,6 +25,11 @@
 \newcommand{\1}{\mathds{1}}
 \newcommand{\un}[1]{\mathbf{1}_{\{#1\}}}
 
+% Macros Thomas
+\newcommand*{\deq}{\stackrel{d}{=}}
+\newcommand*{\darrow}{\xrightarrow{\kern3pt d\kern4pt}}
+\newcommand*{\parrow}{\stackrel{\kern3pt (\P)\kern4pt}{\rightarrow}}
+
 % Macros Kroum
 \newcommand*{\suite}[2][n]{\left( #2 \right)_{#1}}% exemple \suite{u_n}, \suite[k>0]{u_k}
 \newcommand*{\suiteN}[1]{\suite[n\in\N]{#1}}% exemple \suiteN{u_n}
@@ -53,6 +58,8 @@
 \newcommand{\Bin}[1]{\operatorname{Bin}(#1)}% loi binomiale
 \newcommand{\Exp}[1]{\mathcal{E}(#1)}% loi exponentielle
 \newcommand{\Uni}[1]{\mathcal{U}(#1)}% loi uniforme
+\newcommand{\Nor}[1]{\mathcal{N}(#1)}% loi normale
+\newcommand{\LogNor}[1]{\mathcal{L}(#1)}% loi log-normale
 
 % indications
 \newcommand{\indication}[1]{\emph{Indication : #1}}

README.md

@@ -19,6 +19,7 @@ Dans [ce dépôt](https://gitlab.univ-lille.fr/tzanev/l3m61proba/) vous pouvez t
 ### Les sujets d'examens et leurs solutions
 
 - DS1 **[[sujet](Exam/M61B_2023-24_DS1-sujet.pdf)]** **[[solutions](Exam/M61B_2023-24_DS1-solutions.pdf)]** [[tex](Exam/M61B_2023-24_DS1.tex)]
+- DS2 **[[sujet](Exam/M61B_2023-24_DS2-sujet.pdf)]** **[[solutions](Exam/M61B_2023-24_DS2-solutions.pdf)]** [[tex](Exam/M61B_2023-24_DS2.tex)]
 
 ### Source complémentaires
 

TDs/m61proba.tex

@@ -25,12 +25,18 @@
 \newcommand{\1}{\mathds{1}}
 \newcommand{\un}[1]{\mathbf{1}_{\{#1\}}}
 
+% Macros Thomas
+\newcommand*{\deq}{\stackrel{d}{=}}
+\newcommand*{\darrow}{\xrightarrow{\kern3pt d\kern4pt}}
+\newcommand*{\parrow}{\stackrel{\kern3pt (\P)\kern4pt}{\rightarrow}}
+
 % Macros Kroum
 \newcommand*{\suite}[2][n]{\left( #2 \right)_{#1}}% exemple \suite{u_n}, \suite[k>0]{u_k}
 \newcommand*{\suiteN}[1]{\suite[n\in\N]{#1}}% exemple \suiteN{u_n}
 \newcommand*{\abs}[1]{\left\lvert{\ifx\hfuzz#1\hfuzz \,\cdot\,\else#1\fi}\right\rvert}% |.|
 \newcommand*{\norm}[1]{\left\lVert{\ifx\hfuzz#1\hfuzz \,\cdot\,\else#1\fi}\right\rVert}% norme
 \newcommand*{\scalprod}[3][]{#1\langle{#2}\kern1pt #1|{#3}#1\rangle}% exemple \scalprod[\big]{A}{B}
+\newcommand*{\ens}[2][]{#1\{ #2 #1\}}% exemple \ens[\big]{A,B,C}
 \newcommand*{\ensemble}[3][]{#1\{ #2 \;#1|\; #3 #1\}}% exemple \ensemble[\big]{x^2}{x \in \R}
 \newcommand{\iintv}[1]{\ldbrack #1\rdbrack}% intervalle d'entiers
 \newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}% le «d» du dx, dt, ...
@@ -52,6 +58,8 @@
 \newcommand{\Bin}[1]{\operatorname{Bin}(#1)}% loi binomiale
 \newcommand{\Exp}[1]{\mathcal{E}(#1)}% loi exponentielle
 \newcommand{\Uni}[1]{\mathcal{U}(#1)}% loi uniforme
+\newcommand{\Nor}[1]{\mathcal{N}(#1)}% loi normale
+\newcommand{\LogNor}[1]{\mathcal{L}(#1)}% loi log-normale
 
 % indications
 \newcommand{\indication}[1]{\emph{Indication : #1}}