Le nombre de pièces sortant d’une usine en une journée est une variable aléatoire d’espérance 50. On veut estimer la probabilité que la production d'un jour donné dépasse 75 pièces.
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\section{Inégalité de Markov et de Bienaymé-Chebychev}
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En utilisant l’inégalité de Markov, quelle estimation obtient-on sur cette probabilité ? Que peut-on dire de plus sur cette probabilité si on sait que la variance de la production quotidienne est $25$?
\end{exo}
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\begin{exo}\emph{(Pièces déféctueuses)}
\begin{exo}\emph{(Pièces défectueuses)}
Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue $p\in]0,1[$ est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de $p$. On effectue un prélèvement de $n$ pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur un échantillon très grand, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de $n$ tirages indépendants avec remise. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que $Xn/n$ approche $p$.
Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue $p\in]0,1[$ est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de $p$. On effectue un prélèvement de $n$ pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur un échantillon très grand, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de $n$ tirages indépendants avec remise. On note $S_n$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que $\frac{S_n}{n}$ approche $p$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de $X_n$ ? Sa moyenne? Sa variance?
\item Quelle est la loi de $S_n$ ? Sa moyenne? Sa variance?
\item En déduire une condition sur $n$ pour que $X_n/n$ soit une valeur approchée de $p$ à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
\item En déduire une condition sur $n$ pour que $S_n/n$ soit une valeur approchée de $p$ à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
\end{enumerate}
\end{exo}
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\begin{exo}\emph{(Marches aléatoires)}
\begin{exo}\emph{(Surréservation et inégalité de Bienaymé-Tchebychev)}
Une compagnie aérienne exploite un avion Paris-Montréal d'une capacité de 150 places. Pour ce vol, une analyse statistique a montré qu'un passager ayant réservé son billet se présentait à l'embarquement avec une probabilité de $p=0,\!75$. La compagnie souhaite optimiser le remplissage de l'avion et souhaite vendre $n$ billets, avec $n>150$, mais en limitant le risque que plus de 150 personnes se rendent à l'embarquement à moins de $5\%$. On supposera dans la suite que $np< 150$. On définit la variable aléatoire $S_n$ comme le nombre de personnes, parmi les $n$ ayant réservé un billet, se présentant à l'embarquement.
Soit $\suite[k\geq1]{X_k}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires de distribution commune $\PP{X_k=1}=\PP{X_k=-1}=1/2$. Pour tout entier $n$, on définit
\[
S_n=\sum_{k=1}^n X_k.
\]
\begin{enumerate}
\item On admettra que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, on a $\EE{g(X}h(Y))=\EE{g(X})\EE{h(Y})$. Pour tout réel $t$, calculer $\EE{e^{t S_n}}$.
\item Montrer que pour tout réel $u$, $\cosh(u)\leq e^{u^2/2}$.
\item Déduire des deux résultats précédents que pour tout entier $n>0$, pour tout $\lambda>0$,
\item Quelle est la loi de $S_n$?
\item En appliquant l'inégalité de Tchebychev à $S_{n}$, démontrer que
\item Soit $c>1$. Pour tout $n\in\N^*$, on définit l'événement $A_n=\Bigl\{|S_n|\leq\sqrt{2cn \log n}\Bigr\}$. En utilisant le Lemme de Borel Cantelli, montrer que
\[
\PP{\liminf A_n}=1.
P(S_n\geq150)\leq\frac{np(1-p)}{(150-np)^2}.
\]
\item Résoudre sur $]0,150[$ l'inéquation $\frac{x(1-p)}{(150-x)^2}\leq0,\!05$.
\item Combien la compagnie peut-elle vendre de billets tout en s'assurant que la probabilité que plus de 150 clients se présentent à l'embarquement est inférieure ou égale à $5\%$?
\end{enumerate}
\end{exo}
...
...
@@ -73,9 +56,9 @@
\[
\overline{X}_n=\frac{X_1+\dots+X_n}{n}.
\]
Démontrer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Chebychev, que pour tout $\varepsilon>0$,
Démontrer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que pour tout $\varepsilon>0$,
Soient $B_1, \dots ,B_n$ des v.a. de Bernouilli indépendantes de paramètre $p\in[0,1]$.
Soient $B_1, \dots ,B_n$ des v.a. de Bernoulli indépendantes de paramètre $p\in[0,1]$ et $f$ une fonction continue sur $[0,1]$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la distribution de la variable aléatoire $B^{(n)}\coloneqq B_1+\dots+B_n$ ?
\item Que vaut $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$ ?
\item Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1].$ À l'aide du théorème de transfert, exprimer $\EE{f\pa{\frac{B^{(n)}}{n}}}$ en fonction de $p$, $n$, et $f$.
\item Quelle est la distribution de la variable aléatoire $S_n\coloneqq B_1+\dots+B_n$ ?
\item Exprimer $\EE{f\pa{\frac{S_n}{n}}}$ en fonction de $p$, $n$, et $f$.
\item Après avoir justifié l'existence de la limite, calculer
\item Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes suivant chacune des lois de Poisson indépendantes de paramètres $\lambda_X$ et $\lambda_Y$.
Soit $k\in\N$, calculer $\PP{X+Y}=k$. Que peuton en déduire sur la distribution de la variable aléatoire $Z=X+Y$ ?
\itemSoient $X_1, \dots X_n $ des variables aléatoires de loi de Poisson, indépendantes, de même paramètre $\lambda>0$.
Soit $k\in\N$, calculer $\PP{X+Y}=k$. Que peut-on en déduire sur la distribution de la variable aléatoire $Z=X+Y$ ?
\item Soient $X_1, \dots X_n $ des variables aléatoires de loi de Poisson, indépendantes, de même paramètre $\lambda>0$.
\begin{enumerate}
\item Déduire de la question précédente la distribution de la variable aléatoire $Z_n=\sum_{k=1}^n X_k$.
\itemCalculer Soit $f:\R_+\to\R$ une fonction continue et bornée. Après avoir justifié son existence, calculer
\item Déduire de la question précédente la distribution de la variable aléatoire $Z_n=\sum_{k=1}^n X_k$.
\item Soit $f:\R_+\to\R$ une fonction continue et bornée. Après avoir justifié son existence, calculer
\indication{On pourra considérer une suite de variables indépendantes de Poisson.}
\end{exo}
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\begin{exo}\emph{(Encore du TCL)}
\begin{exo}\emph{(TCL et loi de Poisson)}
On considère une ville donnée de $n$ habitants, on suppose $n$ pair. On suppose que le sexe de chaque habitant est tiré de manière indépendante, et qu'il y a en moyenne autant d'hommes que de femmes dans la ville.
Soit $\suite[i\geq1]{X_{i}}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de Poisson de paramètre $\lambda=1$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $n$ la probabilité $p_n$ que la ville compte \emph{exactement}$n/2$ hommes et $n/2$ femmes.
\item Avec la formule de Stirling, déterminer un équivalent de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\item Retrouver l'ordre de grandeur de $p_n$ à l'aide du théorème central limite.
\item Soit $Z_{n}= X_{1}+\dots+X_{n}$ et $F_n$ sa fonction de répartition.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n$ entier, calculer $F_n(n)$.
\item Calculer après, avoir justifié son existence,
Soit $\suite[n\geq1]{U_n}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires uniformes sur $[0,1]$, on définit $X_n=\pa{\prod_{j=1}^n U_j}^{1/n}$.
Soit $\suite[n\geq1]{U_n}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. uniformes sur $[0,1]$, on définit $X_n=\pa{\prod_{j=1}^n U_j}^{1/n}$.
\begin{enumerate}
\item Que vaut $\log X_n$ ?
\item Soit $j\in\N$ fixé, calculer pour tout $x\in\R$, $\PP{-\log U_j \leq x}$.
\item En déduire la loi de $-\log U_j$.
\item Soit $j\in\N$ fixé, calculer pour tout $x\in\R$, $\PP{-\log U_j \leq x}$. En déduire la loi de $-\log U_j$.
\item Montrer que $X_n$ converge p.s. quand $n\to\infty$, et déterminer sa limite.
\item En utilisant le théorème central limite, calculer
\[
...
...
@@ -169,6 +139,23 @@
\section{Pour approfondir}
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\begin{exo}\emph{(Une variante de la loi faible des grands nombres)}
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes. On suppose que chaque $X_n$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p_n$. On note $S_n=X_1+\dots+X_n$ et on souhaite démontrer que, pour tout $\varepsilon>0$,
Pourquoi ne peut-on pas appliquer directement la loi faible des grands nombres ? Quelle est l'espérance de $S_n$? Sa variance? Démontrer que $V(S_n)\leq n$. En déduire le résultat.
\end{exo}
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\begin{exo}\emph{(Un problème chinois!)}
On suppose qu'à la naissance, la probabilité qu'un nouveau-né soit un garçon est égale à $1/2$. On suppose que tous les couples ont des enfants jusqu'à obtenir un garçon. On souhaite évaluer la proportion de garçons dans une génération de cette population. On note $X$ le nombre d'enfants d'un couple pris au hasard dans la population.
Donner la loi de la variable aléatoire $X$. On suppose qu'une génération en âge de procréer est constituée de $N$ couples, et on note $X_1,\cdots,X_N$ le nombre d'enfants respectif de chaque couple. On note enfin $P$ la proportion de garçons issus de cette génération. Exprimer $P$ en fonction de $X_1,\dots,X_N$. Quelle est la limite de $P$ lorsque $N$ tend vers l'infini. Qu'en pensez-vous ?
\end{exo}
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\begin{exo}\emph{(Théorème de Bernstein-Weierstrass)}
...
...
@@ -187,9 +174,9 @@
\[
\PP{|S_n(x}-x|\geq\eta)\leq\frac{1}{n\eta^2}.
\]
\item On rappelle que $f$ étant continue sur un segment, elle est également uniformément continue.
\item On rappelle que $f$ étant continue sur un segment, elle est également uniformément continue.
\begin{enumerate}
\item Rappeller la définition de l'uniforme continuité.
\item Rappeler la définition de l'uniforme continuité.
