\item Soit $Y:\Omega\to\R$ une variable aléatoire. On note $ F_Y $ sa fonction de répartition. Exprimer à partir de $ F_Y $ la fonction de répartition $ F_Z $ de la variable aléatoire $Z=\eexp{Y}$.
\item Soit $a$ un réel strictement positif fixé. On définit la fonction $ f $ par
\[
f(t)=\frac{a}{t^{a+1}}\1_{[1,+\infty[}(t).
\]
Calculer $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\dd x$. En déduire que $ f $ est une densité de probabilité. La loi de densité $f$ s'appelle \emph{loi de Pareto} de paramètre $a$.
\item Une variable aléatoire $X$ a pour densité $ f $. Calculer la fonction de répartition $ F_X $ de $ X $.
\item Soit $Y\sim\Exp{a}$ est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre $a$, donc de densité $g(t)=a\eexp{-at}\1_{]0, +\infty[}(t)$. Quelle est la loi de $Z=\eexp{Y}$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}
% -----------------------------------------------
\begin{exo}\emph{(Désintégration radioactive)}
On dit qu'une variable aléatoire $T$ à valeurs dans $\mathbb R_+$ est \emph{sans mémoire} si elle vérifie, pour tous $s,t> 0$.
$$
\PP{T>t+s}=\PP{T>t}\PP{T>s}.
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $T$ est une v.a. sans mémoire alors $\PP{T> t+s \mid T> t}=\PP{T>s}$, pour tous $s,t> 0$.
\item Soit $T\sim\Exp{a}$ est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre $a$, donc de densité $g(t)=a\eexp{-at}\1_{]0, +\infty[}(t)$. Montrer que $T$ est sans mémoire.
\item La durée de vie des atomes de radon suit une loi exponentielle. La probabilité qu'un atome de radon ne soit pas désintégré en 40s sachant qu'il ne l'est pas en 12s vaut $\frac{\sqrt2}2$. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas désintégré avant 76s sachant qu'il ne l'est pas en 20s?
\end{enumerate}
\end{exo}
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\begin{exo}\emph{(Minimum de deux lois exponentielles)}
\begin{enumerate}
\item Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle de paramètres respectifs $\lambda_1$ et $\lambda_2$. On pose $Y=\min(X_1,X_2)$.
Pour tout réel $y$, calculer $\PP{Y>y}$. En déduire que $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_1+\lambda_2$.
\item\emph{(application)} Deux guichets sont ouverts à une banque. Le temps de service au premier guichet (resp. au deuxième) suit une loi exponentielle de moyenne 20 min (resp. 30 min). Deux clients rentrent simultanément, l'un choisit le guichet 1 et l'autre le guichet 2. En moyenne, après combien de temps sort le premier? En moyenne, après combien de temps sort le deuxième ?
