fiche 2 : suppressoin exos 3 et 8, rajout exo 1, DS1, 2024

TDs/M61B_2024-25_TD2.tex

@@ -23,16 +23,6 @@
   Quelles sont les applications mesurables $h$ de $(E,\mathscr{T})$ dans $(\R,\mathcal{B}(\R))$ lorsque $\mathscr{T}$ est la tribu grossière? lorsque $\mathscr{T}$ est la tribu discrète?
 \end{exo}
 
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-\begin{exo}\emph{(Partitions et fonctions mesurables)}
-
-  Soit $(A_n)_{n\in I}$ une partition d'un ensemble $E$ où $I\subset\N$.
-  \begin{enumerate}
-    \item Caractériser les éléments de la tribu $\mathscr{T}\coloneqq\sigma(\ensemble{A_n}{n\in I})$ lorsque $I=\{0\}$, $I=\{0,1\}$, $I=\{0,1,2\}$, $I=\N$.
-    \item Soit $f$ une fonction mesurable de $(E,\mathscr{T})$ dans $(\R,\mathcal{B}(\R))$. Montrer que $f$ est constante sur chaque $A_n$. En déduire la forme générale des applications mesurables pour $I$ comme dans la question précédente.
-  \end{enumerate}
-\end{exo}
-
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 \begin{exo}\emph{(Résultats essentiels à retenir)}
 
@@ -46,8 +36,6 @@
       f^{-1}(]-\infty, a])= \bigcap_{p\in\N^{*}}\bigcup_{n\in\N} \bigcap_{k\geq n} f_k^{-1}\left(\Bigl]-\infty,a+\frac1p\,\Bigr]\right).
     \]
     En déduire que $f$ est mesurable.
-    %  \item $\limsup_{n\to +\infty} f_n$ et $\liminf_{n\to +\infty} f_n$ sont mesurables.
-    %  \item Reprendre l'exercice avec $\overline{\R}$ muni de la tribu borélienne.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
@@ -75,25 +63,10 @@
   \[
     \ensemble{x\in E}{f(x)=g(x)} \in \mathscr{T}.
   \]
-  % \indication{On prendra garde au fait que les fonctions $f$ et $g$ peuvent prendre des valeurs infinies.}
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Mesurabilité de limites de fonctions mesurables)}
-
-  Soient $(F,d)$ un espace métrique et $(E,\mathscr{T})$ un espace mesurable. Soit $\suiteN{f_n}$ une suite d'applications de $E$ dans $F$ qui sont $(\mathscr{T},\mathcal{B}(E))$-mesurables.
-
-  \begin{enumerate}
-    \item Supposons dans cette question que $\suiteN{f_n}$ converge simplement vers une application $f$. Montrer que $f$ est $(\mathscr{T},\mathcal{B}(E))$-mesurable.
-    \item Supposons que $(F,d)$ soit complet. Montrer que
-    \[
-      \ensemble{x\in E}{\suiteN{f_n(x)} \text{ converge simplement}} \in \mathscr{T}.
-    \]
-  \end{enumerate}
-\end{exo}
-
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Exemples de fonctions mesurables)}
 
   On munit $\R$ de la tribu des boréliens. Montrer que les fonctions suivantes sont mesurables :
   \begin{enumerate}
@@ -107,7 +80,7 @@
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Extension d'une fonction mesurable)}
 
   Soient $\Omega$ un ensemble, $\mathcal{T}$ une tribu sur $\Omega$, $E$ une partie mesurable de $\Omega$ et $f:E\to \R$ une fonction $\mathcal{T}\!-\!B(\R)$-mesurable. On définit $g:\Omega\to\R$ par
   \[
@@ -117,7 +90,24 @@
         f(x) & \text{ si } x\in E
       \end{cases}.
   \]
-  Montrer que $f$ est $\mathcal{T}|_{E}\!-\!B(\R)$-mesurable si et seulement si $g$ est mesurable (on pourra commencer par le cas où $f$ est constante égale à $1$).
+  Montrer que $f$ est $\mathcal{T}|_{E}\!-\!B(\R)$-mesurable si et seulement si $g$ est mesurable.
+\end{exo}
+
+% -----------------------------------------------
+\begin{exo} \emph{(DS1, 2024)}
+
+  Sur l'ensemble $\Omega=\{ -2, -1, 0, 1, 2 \}$ on note $\mathcal{F}$ la
+  plus petite tribu qui contient $\{ -2, -1, 0 \}$ et $\{ 0, 1, 2 \}$.
+  \begin{enumerate}
+    \item Expliciter $\mathcal{F}$ en donnant la liste de ses éléments (sans justification).
+    \item On munit $\R$ de sa tribu borélienne. Parmi ces trois fonctions de
+    $\Omega$ dans $\R$, lesquelles sont $\mathcal{F}$-mesurables ? Justifier vos réponses.
+    \begin{enumerate}
+      \item la fonction nulle : $\forall \omega\in\Omega$, $f_0(\omega)=0$;
+      \item la fonction identité : $\forall \omega\in\Omega$, $f_1(\omega)=\omega$;
+      \item la fonction signe : $\forall \omega\in\Omega$, $f_2(\omega)=-1$ si $\omega < 0$ et $f_2(\omega)=1$ si $\omega\geq 0$.
+    \end{enumerate}
+  \end{enumerate}
 \end{exo}
 
 \end{document}