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TDs/M61B_2024-25_TD3.tex

@@ -21,27 +21,6 @@
   Montrer que $c$ est une mesure sur $(X,\mathcal{P}(X))$. \emph{Cette mesure s'appelle la mesure de comptage sur $X$.}
 \end{exo}
 
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Exemples de mesures)}
-
-  Dans chacun des cas suivants, montrer que l'application donnée est une mesure sur l'espace mesurable $(E, \mathscr{T})$.
-  \begin{enumerate}
-    \item Soit $\mathscr{T}=\mathscr{P}(E)$. Pour $a\in E$ fixé, $\delta_a$ est l'application définie par $\forall A\in \mathscr{T}$, $\delta_a(A)=\1_{A}(a)$.
-    \item Soient $E=\R$, $\mathscr{T}=\{A\in \mathcal{P}(\R),\ A \text{ ou }A^c\text{ est dénombrable}\}$ et $\mu(A)=0$ si $A$ est dénombrable, $\mu(A)=1$ sinon.
-  \end{enumerate}
-\end{exo}
-
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Ensembles de mesure positive)}
-
-  Soit $f:(E,\mathscr{T})\longrightarrow (\R,\mathcal{B}(\R))$ une fonction mesurable. Soit $\mu$ une mesure sur $(E,\mathscr{T})$.
-  \begin{enumerate}
-    \item Montrer que si $\mu(E)\neq 0$, alors il existe $A\in\mathscr{T}$, $\mu(A)\neq 0$ tel que $f$ soit bornée sur $A$.
-    \item Justifier que $\{f\neq 0\}\in\mathscr{T}$.
-    \item Montrer que si $\mu(\{f\neq 0\})\neq 0$, alors il existe $A\in\mathscr{T}$, $\mu(A)\neq 0$ tel que $|f|$ est minorée sur $A$ par une constante strictement positive.
-  \end{enumerate}
-\end{exo}
-
 % -----------------------------------------------
 \begin{exo}\emph{(Tribus des évènements triviaux)}
 
@@ -52,15 +31,6 @@
   Montrer que $\mathscr{T}$ est une tribu.
 \end{exo}
 
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-\begin{exo}\emph{(Continuité de la mesure)}
-
-  Soit $(E,\mathscr{T},\mu)$ un espace mesuré et $f:(E,\mathscr{T})\to (\R,\mathcal{B}(\R))$ une fonction mesurable. On suppose que $\mu(\{x\in E\mid f(x)>0\})>0$. Démontrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que
-  \[
-    \mu(\{x\in E \mid f(x)>\varepsilon\})>0.
-  \]
-\end{exo}
-
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 \begin{exo}\emph{(Mesures invariantes)}
 
@@ -73,29 +43,26 @@
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Régularité et mesure finie)}
+\begin{exo}\emph{(Ensembles de mesure positive)}
 
-  Soit $\mu$ une mesure {\bf finie} sur $(\R,\mathcal{B}(\R))$. L'objectif de l'exercice est de montrer que $\mu$ une mesure \emph{régulière}, c.-à-d. pour tout $A\in\mathcal{B}(\R)$, on a
-  \begin{align*}
-    \mu(A) &= \sup\ensemble{\mu(F)}{ F \text{ fermé, } F\subset A}\quad\text{et}\\
-    \mu(A) &= \inf\ensemble{\mu(O)}{ O \text{ ouvert, } A\subset O}.
-  \end{align*}
+  Soit $f:(E,\mathscr{T})\longrightarrow (\R,\mathcal{B}(\R))$ une fonction mesurable. Soit $\mu$ une mesure sur $(E,\mathscr{T})$.
   \begin{enumerate}
-    \item Montrer $\mu$ est régulière si et seulement si tout $A\in\mathcal{B}(\R)$ vérifie la propriété ($\star$) suivante :
-    \begin{center}
-      ($\star$) : $\forall\varepsilon>0$ il existe un ouvert $O$ et un fermé $F$de $\R$ tels que $F\subset A\subset O$ et $\mu(O\setminus F)\leq \varepsilon$.
-    \end{center}
-    \item Introduisons $\mathscr{T}=\ensemble{A\in\mathcal{B}(\R)}{ A \text{ vérifie ($\star$)}}$.
-    \begin{enumerate}
-      \item Montrer que $\mathscr{T}$ contient tous les intervalles de la forme $]-\infty,a], a\in\R$.
-      \item Montrer que $\mathscr{T}$ est stable par union dénombrable.\\
-      \indication{Soit $A_n\in\mathscr{T}$, $n\geq 1$, et $\varepsilon>0$. Considérer alors $F_n$ fermé de $\R$ et $O_n$ ouvert de $\R$ tels que $F_n\subset A_n\subset O_n$ et $\mu(O_n\setminus F_n)\leq \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}$. Remarquer qu'il existe $n\geq 1$ tel que $\mu(\bigcup_{k\geq 1}F_n)\leq \mu(\bigcup_{k=1}^n F_k)+\frac{\varepsilon}{2}$.}
-      \item Montrer que $\mathscr{T}$ est stable par passage au complémentaire.
-      \item Conclure.
-    \end{enumerate}
+    \item Montrer que si $\mu(E)\neq 0$, alors il existe $A\in\mathscr{T}$, $\mu(A)\neq 0$ tel que $f$ soit bornée sur $A$.
+    \item Justifier que $\{f\neq 0\}\in\mathscr{T}$.
+    \item Montrer que si $\mu(\{f\neq 0\})\neq 0$, alors il existe $A\in\mathscr{T}$, $\mu(A)\neq 0$ tel que $|f|$ est minorée sur $A$ par une constante strictement positive.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
+% -----------------------------------------------
+\begin{exo}\emph{(Continuité de la mesure)}
+
+  Soit $(E,\mathscr{T},\mu)$ un espace mesuré et $f:(E,\mathscr{T})\to (\R,\mathcal{B}(\R))$ une fonction mesurable. On suppose que $\mu(\{x\in E\mid f(x)>0\})>0$. Démontrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que
+  \[
+    \mu(\{x\in E \mid f(x)>\varepsilon\})>0.
+  \]
+\end{exo}
+
+
 % ===============================================
 \section{Autour de la mesure de Lebesgue}
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@@ -144,22 +111,6 @@
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
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-\begin{exo}\emph{(Un ensemble non borélien : l'ensemble de Vitali)}
-
-  Nous allons exhiber dans cet exercice une partie de $\R$ qui n'est pas dans la tribu des boréliens.
-  \begin{enumerate}
-    \item Pour $x,y\in\R$, on définit la relation suivante : $x\mathcal{R} y$ si $x-y\in\Q$. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence.
-    \item En déduire qu'il existe $E\subset [0,1]$ tel que pour tout réel $x$, on peut trouver un réel unique $y\in E$ avec $x-y\in\Q$.
-    \item On pose
-    \[
-      G=\bigcup_{r\in\Q\cap [-1,1]}(E+r)
-    \]
-    Montrer que $[0,1]\subset G\subset [-1,2]$ et montrer que si $r,s\in\Q$, alors $r\neq s\Longleftrightarrow (E+r)\cap (E+s)=\emptyset$.
-    \item En utilisant la mesure de Lebesgue, en déduire que $E\not\in \mathcal{B}(\R)$ (on raisonnera par l'absurde).
-  \end{enumerate}
-\end{exo}
-
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 \begin{exo}\emph{(Continuité et notion de presque partout)}