\itemCalculer$\1_{\cup_{n\in\N}A_n}$,$\1_{\cap_{n\in\N}A_n}$, $\1_{\limsupA_n}$ et $\1_{\liminf A_n}$ en fonction des $\1_{A_n}$.
\itemMontrer que$\1_{\cup_{p\geq n}A_p}=\sup_{p\geq n}\1_{A_p}$ et$\1_{\cap_{p\geq n} A_p}=\inf_{p\geq n}\1_{A_p}$. En déduire les que $\1_{\limsup A_n}=\limsup\1_{A_n}$ et $\1_{\liminf A_n}=\liminf\1_{A_n}$.
On rappelle que la tribu des boréliens de $\R^2$ est engendrée par les ouverts de $\R^2$. Démontrer que les ensembles suivants sont des boréliens de $\R^2$ :
\begin{enumerate}
\item$\Delta=\{(x,x)\in\R^2\ /\ x\in\R\}$.
\item$B=\{(x,y)\in\R^2\ /\ x^2+y^2=1\text{ et } x\notin
\Q\}$.
\end{enumerate}
\end{exo}
% -----------------------------------------------
\begin{exo}\emph{(Quizz)}
...
...
@@ -222,7 +233,7 @@
\item La personne lance le dé et nous annonce seulement \enquote{pair} ou \enquote{impair}. Ecrire la tribu $\mathcal{F}_1$ des évènements observables pour nous.
\item La personne lance le dé et n'annonce rien ! A quelle la tribu $\mathcal{F}_0$ correspond cette fois l'expérience que nous observons ?
\item On dit que $(\mathcal{F}_0, \mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2)$ est une suite croissante de tribus. En quoi est-elle croissante ? Qu'est-ce qui augmente, intuitivement, le long de cette suite ? Dans l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{F},P)$, que représente la tribu $\mathcal{F}$ ?
\item La modélisation mathématique des produits financiers dérivés (stock-options) utilise des espaces probabilisés complexes. Ils sont munis de tribus $\mathcal{F}_t$ indexées par la date et contenant tous les événements observables de l'origine jusqu'à la date $t$. L'affirmation $\mathcal{F}_{\text{2 janvier 2020}}\subset\mathcal{F}_{\text{31mars2022}}$ est considérée par les quants comme une évidence. Pourquoi ? Quelle capacité (réaliste ?) présuppose ce choix de modélisation ?
\item La modélisation mathématique des produits financiers dérivés (stock-options) utilise des espaces probabilisés complexes. Ils sont munis de tribus $\mathcal{F}_t$ indexées par la date et contenant tous les événements observables de l'origine jusqu'à la date $t$. L'affirmation $\mathcal{F}_{\text{24 février 2022}}\subset\mathcal{F}_{\text{1avril2024}}$ est considérée par les quants comme une évidence. Pourquoi ? Quelle capacité (réaliste ?) présuppose ce choix de modélisation ?
\end{enumerate}
\end{exo}
...
...
@@ -232,7 +243,7 @@
Soit $\Omega=\Z$. On considère $\mathcal{T}$ la tribu engendrée
par les ensembles
\[
S_n=\{n,n+1,n+2\},\quad\text{avec }z\in\Z.
S_n=\{n,n+1,n+2\},\quad\text{avec }n\in\Z.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que quel que soit $n\in\Z$, $\{n\}$ appartient à
...
...
@@ -297,7 +308,7 @@
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\begin{exo}\emph{(Points de convergence d'une suite d'applications)}
Soit $\suite[n\geq1]{f_n}$ une suite d'applications continues de $\R$ dans lui-même.
Soit $\suite[n\geq1]{f_n}$ une suite d'applications mesurables de $\R$ dans lui-même.
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in\R$. Montrer que $\suite[n\geq1]{f_n(x)}$ converge vers $l$ si et seulement si pour tout $n\in\N^*$, il existe $k\in\N$ tel que pour tout $l\geq k$, $|f_l(x)-l|<\frac1n$.
\item Soit $A\coloneqq\{x\in\R:f_n(x)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\}$. Montrer que
...
...
@@ -307,20 +318,9 @@
En déduire que $A$ est un borélien de $\R$.
\item Montrer que
$B\coloneqq\{x\in\R:\suite[n\geq1]{f_n(x)}\text{ admet $0$ comme valeur d'adhérence}\}$ est un borélien de $\R$.
\item Soit $C\coloneqq\{x\in\R:\suite[n\geq1]{f_n(x)}\text{ converge simplement}\}$.
En procédant comme dans les questions $1)$ et $2)$ avec le critère de Cauchy, montrer que $C$
est un borélien de $\R$.
\end{enumerate}
\end{exo}
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\begin{exo}
On rappelle que la tribu des boréliens de $\R^2$ est engendrée par les ouverts de $\R^2$. Démontrer que les ensembles suivants sont des boréliens de $\R^2$ :
\begin{enumerate}
\item$\Delta=\{(x,x)\in\R^2\ /\ x\in\R\}$.
\item$B=\{(x,y)\in\R^2\ /\ x^2+y^2=1\text{ et } x\notin
\Q\}$.
\item Montrer que $C\coloneqq\{x\in\R:\suite[n\geq1]{f_n(x)}\text{ admet une limite}\}$
est un borélien de $\R$.\\
\indication{Utiliser le critère de Cauchy pour caractériser l'existence d'une limite.}
