nettoyage code fiche 6

TDs/M61B_2024-25_TD6.tex

@@ -8,35 +8,6 @@
 
 \begin{document}
 
-% Dans toute la fiche, on supposera, sauf mention contraire, que l'on se trouve sur un espace mesuré $(E, \mathscr{T}, \mu)$.
-
-
-% % ===============================================
-% \section{Intégrale de Lebesgue}
-% % ===============================================
-
-% % -----------------------------------------------
-% \begin{exo}\emph{(Quizz)}
-%   \begin{enumerate}
-%     \item La somme de deux fonctions intégrables est elle intégrable ?
-%     \item Le carré d'une fonction intégrable est il intégrable ? Une fonction de carré intégrable est-elle elle-même intégrable ?
-%     \item La composée de deux fonctions intégrable est-elle intégrable ?
-%   \end{enumerate}
-% \end{exo}
-
-% % -----------------------------------------------
-% \begin{exo}\emph{(Calcul d'une intégrale)}
-
-%   On considère la fonction $f:[0,1]\to\R$ définie par
-%   \[
-%     f(x) = \begin{cases}
-%         x,\text{ si }x\in\Q\\
-%         x^2,\text{ si }x\notin\Q
-%       \end{cases}.
-%   \]
-%   Montrer que $f$ est Lebesgue intégrable sur $[0,1]$ et calculer son intégrale.
-% \end{exo}
-
 
 % ===============================================
 \section{Autour du théorème de convergence monotone}
@@ -87,28 +58,6 @@
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
-% % -----------------------------------------------
-% \begin{exo}\emph{(Mesure de comptage)}
-
-%   On rappelle que la mesure de comptage $\mu$ est définie sur $\pa{\N,\mathcal{P}(\N)}$ par $\mu(A)=\mathrm{card}(A)$ si $A$ est fini et $\mu(A)=+\infty$ sinon.
-%   \begin{enumerate}
-%     \item Soit $n\in\N$. Calculer $\int_{\N} \1_{\{n\}}d\mu$, $\int_{\N} \sum_{k=0}^n\frac1{2^k}\1_{\{k\}}d\mu$
-%     \item Soit $f:\N\to \R$ définie par $f(n)=\frac1{2^n}$. Calculer $\int_{\N} fd\mu$.
-%     \item Soit $f:\N \to \R_{+}$. Justifier que $\int_{\N}fd\mu=\sum_{n=0}^{+\infty} f(n)$.
-%     \item Soit $f:\N \to \R$. Montrer que $f$ est $\mu$-intégrable si et seulement si $\sum f(n)$ est absolument convergente et que, dans ce cas, $\int_{\N}fd\mu=\sum_{n=0}^{+\infty} f(n)$.
-%     \item Donner l'exemple d'une fonction $f:\N \to \R$ telle que $\int_{\N}fd\mu$ n'est pas bien défini, mais telle que $\sum_{n=0}^{+\infty} f(n) \in \R$ est bien définie.
-%   \end{enumerate}
-% \end{exo}
-
-% % -----------------------------------------------
-% \begin{exo}\emph{(Majoration d'intégrales qui passe à la limite)}
-
-%   Soit $\suiteN{f_n}$ une suite de fonctions positives convergeant simplement vers $f$. On suppose qu'il existe une constante $K$ telle que $\int f_n d\mu\leq K$ pour tout $n$. Montrer que $\int fd\mu\leq K$.\\
-%   \begin{indication}
-%     Considérer la suite $g_{n} = \inf_{k\geq n} f_{k}$.
-%   \end{indication}
-% \end{exo}
-
 
 % ===============================================
 \section{Théorème de convergence dominée}
@@ -177,61 +126,4 @@
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
-
-% % ===============================================
-% \section{Lemme de Fatou}
-% % ===============================================
-
-% % -----------------------------------------------
-% \begin{exo}\emph{(Inégalité de Fatou stricte I)}
-
-%   On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue. Soit $f_n=n\1_{\left[0,\frac1n\right]}$.
-%   \begin{enumerate}
-%     \item Appliquer si possible le lemme de Fatou.
-%     \item Calculer $\liminf_{n\to +\infty} \int_{\R} f_nd\lambda$ et $\int_{\R} \liminf_{n\to +\infty} f_nd\lambda$
-%   \end{enumerate}
-% \end{exo}
-
-% % -----------------------------------------------
-% \begin{exo}\emph{(Inégalité de Fatou stricte II)}
-
-%   Soit $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur l'intervalle $[-1,1]$, et $g=\1_{[0,1]}$. On définit $f_n(x)$ par
-%   \[
-%     f_n(x) =
-%       \begin{cases}
-%         g(x) \text{ si }n\text{ est pair},\\
-%         g(-x) \text{ sinon.}
-%       \end{cases}
-%   \]
-%   Montrer que
-%   \[
-%     \int_{[-1,1]}\liminf_{n\to\infty} f_n d\lambda < \liminf_{n\to\infty} \int_{[-1,1]} f_n d\lambda.
-%   \]
-% \end{exo}
-
-% % -----------------------------------------------
-% \begin{exo}\emph{(Contradiction avec Fatou ?)}
-
-%   On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue. Soit $f_n=-\frac1n\1_{[0,n]}$, $n\in\N^{*}$ et $f=0$. Montrer que $\suite[n\in\N^{*}]{f_n}$ converge uniformément sur $\R$ vers $f$ mais que
-%   \[
-%     \liminf_{n\to +\infty} \int_{\R} f_nd\lambda <\int_{\R}fd\lambda.
-%   \]
-%   Est-ce que cela contredit le lemme de Fatou ?
-% \end{exo}
-
-% % -----------------------------------------------
-% \begin{exo}\emph{(Lemme de Fatou et quasi-domination)}
-
-%   Soit $\suiteN{f_n}$ une suite de fonctions mesurables convergeant simplement $\mu$-presque partout vers $f$. Soient $h$ et $\suiteN{g_n}$ des fonctions positives et $\mu$-intégrables. On suppose que $|f_n|\leq g_n+h$, et que $\lim_{n\to\infty}\int_E g_nd\mu= 0$
-%   \begin{enumerate}
-%     \item En utilisant le Lemme de Fatou, montrer que $f$ est $\mu$-intégrable.
-%     \item Montrer que $\liminf g_n=0$ $\mu$-presque partout en utilisant le Lemme de Fatou.
-%     \item En appliquant le Lemme de Fatou aux fonctions $g_n + h \pm f$, montrer que
-%     \[
-%       \limsup_{n\to\infty} \int_E f_nd\mu\leq \int_E fd\mu\leq \liminf_{n\to\infty} \int_E f_nd\mu,
-%     \]
-%     en déduire $\lim \int_E f_nd\mu$.
-%   \end{enumerate}
-% \end{exo}
-
 \end{document}