diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD6.pdf b/TDs/M61B_2023-24_TD6.pdf
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@@ -6,24 +6,24 @@
\begin{document}
-Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur un espace mesuré $(E, \mathscr{T}, \mu)$.
+Dans toute la fiche, on supposera, sauf mention contraire, que l'on se trouve sur un espace mesuré $(E, \mathscr{T}, \mu)$.
% ===============================================
-\section{intégrale de Lebesgue}
+\section{Intégrale de Lebesgue}
% ===============================================
% -----------------------------------------------
\begin{exo}\emph{(Quizz)}
\begin{enumerate}
\item La somme de deux fonctions intégrables est elle intégrable ?
- \item Le carré d'une fonction intégrable est il intégrable ? Une fonction de carré intégrable est-elle elle même intégrable ?
+ \item Le carré d'une fonction intégrable est il intégrable ? Une fonction de carré intégrable est-elle elle-même intégrable ?
\item La composée de deux fonctions intégrable est-elle intégrable ?
\end{enumerate}
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Calcul d'une intégrale)}
On considère la fonction $f:[0,1]\to\R$ définie par
\[
@@ -41,18 +41,18 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
% ===============================================
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}[.7]
+\begin{exo}[.49]\emph{(Inversion intégrale et limite ?)}
- On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\R$. Soit $f_n=\mathds{1}_{[n,2n]}$. Vérifier que les $f_n$ sont postives et mesurables. Calculer $\lim_{n\to +\infty} \int_\R f_nd\lambda$ et $\int_\R\lim_{n\to +\infty} f_nd\lambda$.
+ On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\R$. Soit $f_n=\1_{[n,2n]}$. Vérifier que les $f_n$ sont positives et mesurables. Calculer $\lim_{n\to +\infty} \int_\R f_nd\lambda$ et $\int_\R\lim_{n\to +\infty} f_nd\lambda$.
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Calcul d'une intégrale limite)}
- On pose $I(\alpha)=\lim_{n\to +\infty} \int_0^n\left(1-\frac xn\right)^ne^{\alpha x}dx$ pour $n\in\N$ et $\alpha\in\R$.
+ On pose $I_n(\alpha)=\int_0^n\left(1-\frac xn\right)^ne^{\alpha x}dx$ pour $n\in\N^{*}$ et $\alpha\in\R$.
\begin{enumerate}
- \item On définit pour $n\in\N$, $f_n:\R^+\to\R$ par $f_n(x)=\left(1-\frac xn\right)^n e^{\alpha x}\mathds{1}_{[0,n]}(x)$. En étudiant $g_n(x)=(n+1)\log\left(1-\frac{x}{n+1}\right)-n\log\left(1-\frac{x}{n}\right)$, montrer que $\suite{f_n}$ est une suite décroissante de fonctions.
- \item En déduire la valeur de $I(\alpha)$ en fonction de $\alpha$.
+ \item On définit pour $n\in\N^{*}$, $f_n:\R_+\to\R$ par $f_n(x)=\left(1-\frac xn\right)^n e^{\alpha x}\1_{[0,n]}(x)$. En étudiant $g_n(x)=(n+1)\log\left(1-\frac{x}{n+1}\right)-n\log\left(1-\frac{x}{n}\right)$, montrer que $\suite{f_n}$ est une suite croissante de fonctions.
+ \item En déduire que $I(\alpha) \coloneqq \lim_{n\to +\infty} I_{n(\alpha)}$ existe et calculer sa valeur en fonction de $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{exo}
@@ -64,9 +64,9 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
f_n(x)=\frac1x\1_{[n,+\infty[}(x).
\]
\begin{enumerate}
- \item Les fonctions $f_n$ sont elles intégrables sur $\R$ ?
- \item Dans le théorème de convergence monotone, peut on remplacer \enquote{croissante} par \enquote{monotone} ?
- \item Montrer que si l'on suppose qu'il existe $n_0$ tel que $\int_E f_{n_0}d\mu<\infty$, le théorème de convergence monotone s'applique également aux suites décroissantes de fonctions positives.
+ \item Les fonctions $f_n$ sont-elles intégrables sur $\R$ ?
+ \item Dans le théorème de convergence monotone, peut-on remplacer \enquote{croissante} par \enquote{monotone} ?
+ \item Soit $\suite{g_n}$ est une suite décroissante de fonctions réelles sur un espace mesuré. Montrer que s'il existe $n_0$ tel que $g_{n_0}$ soit intégrable, la conclusion du théorème de convergence monotone s'applique.
\end{enumerate}
\end{exo}
@@ -80,7 +80,7 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
\sum_{n=0}^{+\infty} \int_Ef_nd\mu=\int_E\left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n\right)d\mu.
\]
\item En déduire la valeur de $\sum_{n=3}^{+\infty}\int_1^{+\infty}\frac x{(1+x)^n}dx.$
- \item Pour tout entier $n\geq 1$ et tout $x\in\R$, soit $f_n(x)=e^{-nx}-2e^{-2nx}$.
+ \item Pour tout entier $n\geq 1$ et tout $x\in\R$, soit $f_n(x)=e^{-nx}-2e^{-2nx}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sum_{n\geq 1} f_n(x)$ est une série convergente pour tout $x>0$ et calculer sa somme $f(x)$.
\item Comparer $\int_0^{+\infty} f(x)dx$ et $\sum_{n=1}^{+\infty} \int_0^{+\infty} f_n(x)dx$. Expliquer.
@@ -91,23 +91,23 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
% -----------------------------------------------
\begin{exo}\emph{(Mesure de comptage)}
- On rappelle que la mersure de comptage $\mu$ est définie sur $\pa{\N,\mathcal{P}(\N)}$ par $\mu(A)=\mathrm{card}(A)$ si $A$ est fini et $\mu(A)=+\infty$ sinon.
+ On rappelle que la mesure de comptage $\mu$ est définie sur $\pa{\N,\mathcal{P}(\N)}$ par $\mu(A)=\mathrm{card}(A)$ si $A$ est fini et $\mu(A)=+\infty$ sinon.
\begin{enumerate}
- \item Soit $n\in\N$. Calculer $\int_{\N} \mathds{1}{\{n\}}d\mu$, $\int_{\N} \sum_{k=0}^n\frac1{2^k}\mathds{1}{\{k\}}d\mu$
+ \item Soit $n\in\N$. Calculer $\int_{\N} \1_{\{n\}}d\mu$, $\int_{\N} \sum_{k=0}^n\frac1{2^k}\1_{\{k\}}d\mu$
\item Soit $f:\N\to \R$ définie par $f(n)=\frac1{2^n}$. Calculer $\int_{\N} fd\mu$.
- \item Soit $f:\N \to \R$ positive. Justifier que $\int_{\N}fd\mu=\sum_{n=0}^{+\infty} f(n)$.
- \item Soit $\suite[n,p\in\N]{u_{n,p}}$ une suite de réels positifs. Démontrer que
- \[
- \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{p=0}^{+\infty} u_{n,p}=\sum_{p=0}^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n,p}.
- \]
- \item En déduire la valeur de $\sum_{p=2}^{+\infty} \sum_{n=2}^{+\infty} \frac1{n^p}$.
+ \item Soit $f:\N \to \R_{+}$. Justifier que $\int_{\N}fd\mu=\sum_{n=0}^{+\infty} f(n)$.
+ \item Soit $f:\N \to \R$. Montrer que $f$ est $\mu$-intégrable si et seulement si $\sum f(n)$ est absolument convergente et que, dans ce cas, $\int_{\N}fd\mu=\sum_{n=0}^{+\infty} f(n)$.
+ \item Donner l'exemple d'une fonction $f:\N \to \R$ telle que $\int_{\N}fd\mu$ n'est pas bien défini, mais telle que $\sum_{n=0}^{+\infty} f(n) \in \R$ est bien définie.
\end{enumerate}
\end{exo}
% -----------------------------------------------
\begin{exo}\emph{(Majoration d'intégrales qui passe à la limite)}
- Soit $\suiteN{f_n}$ une suite de fonctions positives convergeant simplement vers $f$. On suppose qu'il existe une constante $K$ telle que $\int f_n d\mu\leq K$ pour tout $n$. Montrer que $\int fd\mu\leq K$.
+ Soit $\suiteN{f_n}$ une suite de fonctions positives convergeant simplement vers $f$. On suppose qu'il existe une constante $K$ telle que $\int f_n d\mu\leq K$ pour tout $n$. Montrer que $\int fd\mu\leq K$.\\
+ \begin{indication}
+ Considérer la suite $g_{n} = \inf_{k\geq n} f_{k}$.
+ \end{indication}
\end{exo}
@@ -116,7 +116,7 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
% ===============================================
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Limites d'intégrales)}
Calculer les limites suivantes :
\begin{enumerate}
@@ -134,7 +134,7 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Limites de séries)}
En ré-écrivant les séries comme des intégrales par rapport à la mesure de comptage, calculer
\begin{enumerate}
@@ -144,18 +144,19 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Intégration sur des \enquote{petits} ensembles)}
Soit $(X,\mathcal{B},\mu)$ un espace mesuré et soit $f$ une fonction intégrable.
\begin{enumerate}
- \item Soit $\suite[n\geq1]{A_n}$ une suite d'ensembles mesurables tels que pour tout $n\in\N^*$, $\mu(A_n)<\frac1{n^2}$. On pose $f_n=f\mathds{1}_{A_n}$.\\ Montrer que $\lim_{n\to +\infty} \mu\pa{\cup_{k=n}^{+\infty} A_k}=0$. En déduire que pour tout $\mu$-presque $x$, la suite $\suite{f_n(x)}$ converge vers $0$.
+ \item Soit $\suite[n\geq1]{A_n}$ une suite d'ensembles mesurables tels que pour tout $n\in\N^*$, $\mu(A_n)<\frac1{n^2}$. On pose $f_n=\abs{f}\1_{A_n}$.\\ Montrer que $\lim_{n\to +\infty} \mu\pa{\cup_{k=n}^{+\infty} A_k}=0$. En déduire que pour $\mu$-presque tout $x$, la suite $\suite{f_n(x)}$ est nulle à partir d'un certain rang.
\item Montrer que $\lim_{n\to +\infty}\int_E f_n d\mu =0$.
- \item En déduire que pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que pour tout $A\in\mathcal{B}$, $\mu(A)<\delta$ implique $\int_A\abs{f} d\mu<\varepsilon$.
+ \item En déduire que pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que pour tout $A\in\mathcal{B}$, $\mu(A)<\delta$ implique $\int_A\abs{f} d\mu<\varepsilon$.
\end{enumerate}
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Série d'intégrales)}
+
Soit $\suiteN{f_n}$ une suite de $\mathcal{L}^1(\mu)$. On suppose que
\[
\sum_{n=1}^\infty\int_E |f_n|d\mu<\infty.
@@ -179,7 +180,7 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
% -----------------------------------------------
\begin{exo}\emph{(Inégalité de Fatou stricte I)}
- On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue. Soit $f_n=n\mathds{1}_{\left[0,\frac1n\right]}$.
+ On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue. Soit $f_n=n\1_{\left[0,\frac1n\right]}$.
\begin{enumerate}
\item Appliquer si possible le lemme de Fatou.
\item Calculer $\liminf_{n\to +\infty} \int_{\R} f_nd\lambda$ et $\int_{\R} \liminf_{n\to +\infty} f_nd\lambda$
@@ -189,7 +190,7 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
% -----------------------------------------------
\begin{exo}\emph{(Inégalité de Fatou stricte II)}
- Soit $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur l'intervalle $[-1,1]$, et $g=\1_{[0,1]}$. On définit $f_n(x)$ par
+ Soit $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur l'intervalle $[-1,1]$, et $g=\1_{[0,1]}$. On définit $f_n(x)$ par
\[
f_n(x) =
\begin{cases}
@@ -204,42 +205,23 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Contradiction avec Fatou ?)}
- On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue. Soit $f_n=-\frac1n\mathds{1}_[0,n]$, $n\in\N^{*}$ et $f=0$. Montrer que $\suite[n\in\N^{*}]{f_n}$ converge uniformément sur $\R$ vers $f$ mais que
+ On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue. Soit $f_n=-\frac1n\1_{[0,n]}$, $n\in\N^{*}$ et $f=0$. Montrer que $\suite[n\in\N^{*}]{f_n}$ converge uniformément sur $\R$ vers $f$ mais que
\[
\liminf_{n\to +\infty} \int_{\R} f_nd\lambda <\int_{\R}fd\lambda.
\]
- Pourquoi est-ce que cela ne contredit pas le lemme de Fatou ?
-\end{exo}
-
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
-
- Soit $f:\R\to\R_+^*$ une fonction réelle, mesurable, strictement positive, et intégrable sur $\R$. Soit $a$ un réel strictement positif. Montrer qu'il existe une constant $c$, que l'on déterminera, telle que
- \[
- \lim_{n\to\infty}\int_\R n\log\pa{1+\pa{\frac{f(x)}{n}}^a}dx =
- \begin{cases}
- \infty & \text{ si }0<a<1, \\
- c & \text{ si }a=1, \\
- 0 & \text{ si }1<a
- \end{cases}.
- \]
+ Est-ce que cela contredit le lemme de Fatou ?
\end{exo}
-
-% ===============================================
-\section{Applications}
-% ===============================================
-
% -----------------------------------------------
\begin{exo}\emph{(Lemme de Fatou et quasi-domination)}
Soit $\suiteN{f_n}$ une suite de fonctions mesurables convergeant simplement $\mu$-presque partout vers $f$. Soient $h$ et $\suiteN{g_n}$ des fonctions positives et $\mu$-intégrables. On suppose que $|f_n|\leq g_n+h$, et que $\lim_{n\to\infty}\int_E g_nd\mu= 0$
\begin{enumerate}
\item En utilisant le Lemme de Fatou, montrer que $f$ est $\mu$-intégrable.
- \item Montrer que $\liminf g_n=0$ $\mu$-presque-partout en utilisant le Lemme de Fatou.
- \item Grâce au Lemme de Fatou et aux fonctions $h\pm f+\liminf g_n$, montrer que
+ \item Montrer que $\liminf g_n=0$ $\mu$-presque partout en utilisant le Lemme de Fatou.
+ \item En appliquant le Lemme de Fatou aux fonctions $g_n + h \pm f$, montrer que
\[
\limsup_{n\to\infty} \int_E f_nd\mu\leq \int_E fd\mu\leq \liminf_{n\to\infty} \int_E f_nd\mu,
\]
@@ -247,45 +229,4 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
\end{enumerate}
\end{exo}
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
-
- Soit $f:\R\to\R$ une fonction dérivable sur $[a,b]$, dont la dérivée $f'$ est bornée sur $[a,b]$. Montrer que $f'$ est intégrable sur $[a,b]$, et que
- \[
- \int_{a}^b f'(x)dx=f(b)-f(a).
- \]
- \indication{On pourra considérer $g_n(x)=n\1_{[a,b-1/n[}(x)\pa{f(x+1/n)-f(x)}$.}
-\end{exo}
-
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Mesures à densité)}
-
- Soit $h:E\to[0,+\infty]$ une fonction mesurable. On définit $\nu$ sur $\mathscr{T}$ par $\nu(A)=\int_{A}hd\mu\coloneqq\int_E\1_{A}hd\mu$.
- \begin{enumerate}
- \item Verifier que $\nu$ est une mesure sur $(E,\mathscr{T})$.
- \item Démontrer que si $A\in \mathscr{T}$ satisfait $\mu(A)=0,$ alors $\nu(A)=0$.
- \item Soit $f: (E,\mathscr{T})\to(\R,\mathcal{B}(\R))$ mesurable. Montrer que $f$ est $\nu$-intégrable si et seulement si $fh$ est $\mu$-intégrable et que dans ce cas
- \[
- \int_E fd\nu=\int_E fh d\mu.
- \]
- \end{enumerate}
-\end{exo}
-
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Un critère d'intégrabilité)}
-
- Supposons que $\mu$ est une mesure finie, et $f:E\to\R$ une fonction mesurable. Pour tout $n\in\N$, on pose
- \[
- A_n=\ensemble{x\in E}{n\leq\abs{f(x)}}
- \quad \text{ et }\quad
- B_n=\ensemble{x\in E}{n\leq \abs{f(x)}< n+1}.
- \]
- Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
- \begin{enumerate}
- \item La fonction $f$ est intégrable.
- \item La série $\sum_{n\geq 0} n\mu(B_n)$ est convergente.
- \item La série $\sum_{n\geq 0} \mu(A_n)$ est convergente.
- \end{enumerate}
-\end{exo}
-
\end{document}