diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD2.pdf b/TDs/M61B_2023-24_TD2.pdf
index 8c42d0114b643cc9fd1f534bc956ffe60a156dc3..f174c0970ef6cc128d2166a9025a0e828db1bc02 100644
Binary files a/TDs/M61B_2023-24_TD2.pdf and b/TDs/M61B_2023-24_TD2.pdf differ
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD2.tex b/TDs/M61B_2023-24_TD2.tex
index 86c3b982e41ab6545d3828fb6e016b71514976a6..088da4e6e9b120a327f6145d752aa936c94c130b 100644
--- a/TDs/M61B_2023-24_TD2.tex
+++ b/TDs/M61B_2023-24_TD2.tex
@@ -28,7 +28,7 @@
Soit $(A_n)_{n\in I}$ une partition d'un ensemble $E$ où $I\subset\N$.
\begin{enumerate}
- \item Caractériser les éléments de la tribu $\mathscr{T}\coloneqq\sigma(\{A_n: n\in I\})$ lorsque $I=\{0\}$, $I=\{0,1\}$, $I=\{0,1,2\}$, $I=\N$.
+ \item Caractériser les éléments de la tribu $\mathscr{T}\coloneqq\sigma(\ensemble{A_n}{n\in I})$ lorsque $I=\{0\}$, $I=\{0,1\}$, $I=\{0,1,2\}$, $I=\N$.
\item Soit $f$ une fonction mesurable de $(E,\mathscr{T})$ dans $(\R,\mathcal{B}(\R))$. Montrer que $f$ est constante sur chaque $A_n$. En déduire la forme générale des applications mesurables pour $I$ comme dans la question précédente.
\end{enumerate}
\end{exo}
@@ -73,7 +73,7 @@
Soient $f,g$ deux applications mesurables d'un espace mesurable $(E,\mathscr{T})$ à valeurs dans $\overline{\R}$ (muni de la tribu borélienne). Montrer que
\[
- \{x\in E:f(x)=g(x)\}\in \mathscr{T}.
+ \ensemble{x\in E}{f(x)=g(x)} \in \mathscr{T}.
\]
% \indication{On prendra garde au fait que les fonctions $f$ et $g$ peuvent prendre des valeurs infinies.}
\end{exo}
@@ -87,7 +87,7 @@
\item Supposons dans cette question que $\suiteN{f_n}$ converge simplement vers une application $f$. Montrer que $f$ est $(\mathscr{T},\mathcal{B}(E))$-mesurable.
\item Supposons que $(F,d)$ soit complet. Montrer que
\[
- \{x\in E: \suiteN{f_n(x)} \mbox{ converge simplement}\}\in \mathscr{T}.
+ \ensemble{x\in E}{\suiteN{f_n(x)} \text{ converge simplement}} \in \mathscr{T}.
\]
\end{enumerate}
\end{exo}
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD3.pdf b/TDs/M61B_2023-24_TD3.pdf
index 750bbcf35d68393c8e1e9d2e1ecd157bcb87b269..eca34c1362cc7e8559e00b1d67607e0e8883400e 100644
Binary files a/TDs/M61B_2023-24_TD3.pdf and b/TDs/M61B_2023-24_TD3.pdf differ
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD3.tex b/TDs/M61B_2023-24_TD3.tex
index 4910ff87cb4bf8d109c4f09e41af7f4eb36e4354..c1542c85d770fde84e84c35d50187fae6ac44d77 100644
--- a/TDs/M61B_2023-24_TD3.tex
+++ b/TDs/M61B_2023-24_TD3.tex
@@ -12,7 +12,8 @@
% ===============================================
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{La mesure de comptage}
+\begin{exo}\emph{(La mesure de comptage)}
+
Soit $X$ un ensemble non vide. Pour $A\in \mathcal{P}(X)$, on pose
\[
c(A)\coloneqq\text{card}(A).
@@ -21,7 +22,7 @@
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{Montrer qu'une application est une mesure}
+\begin{exo}\emph{(Montrer qu'une application est une mesure)}
Soit $(E, \mathscr{T})$ un espace mesurable. Dans chacun des cas suivants, montrer que l'application donnée est une mesure. %et décrire les ensembles de mesure nulle.
\begin{enumerate}
@@ -32,7 +33,7 @@
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{Ensembles de mesure positive}
+\begin{exo}\emph{(Ensembles de mesure positive)}
Soit $f:(E,\mathscr{T})\longrightarrow (\R,\mathcal{B}(\R))$ une fonction mesurable. Soit $\mu$ une mesure sur $(E,\mathscr{T})$.
\begin{enumerate}
@@ -53,15 +54,15 @@
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{Régularité et mesure finie}
+\begin{exo}\emph{(Régularité et mesure finie)}
Soit $\mu$ une mesure {\bf finie} sur $(\R,\mathcal{B}(\R))$. L'objectif de l'exercice est de montrer que pour tout $A\in\mathcal{B}(\R)$, on a
\[
- \mu(A)=\sup\{\mu(F): F \text{ fermé }, F\subset A\}
+ \mu(A)=\sup\ensemble{\mu(F)}{ F \text{ fermé }, F\subset A}
\]
et
\[
- \mu(A)=\inf\{\mu(O): O \text{ ouvert }, A\subset O\}.
+ \mu(A)=\inf\ensemble{\mu(O)}{ O \text{ ouvert }, A\subset O}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il suffit de prouver que tout borélien $A$ de $\R$ vérifie la propriété suivante :
@@ -71,11 +72,11 @@
\[
\text{ de $\R$ tels que $F\subset A\subset O$ et $\mu(O\setminus F)\leq \varepsilon$.}
\]
- \item Introduisons $\mathscr{T}=\{A\in\mathcal{B}(\R): A \text{ vérifie (P)}\}$.
+ \item Introduisons $\mathscr{T}=\ensemble{A\in\mathcal{B}(\R)}{ A \text{ vérifie (P)}}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathscr{T}$ contient $\mathcal{O}(\R)$, l'ensemble des ouverts de $\R$.
- \emph{Indication :} soit $A\in\mathcal{O}(\R)$; on pourra considérer $F_{p}=\{x\in \R: d(x, A^c)\geq 1/p\}$, $p\geq 1$, et remarquer que $A=\bigcup_{p\geq 1} F_p$.
+ \emph{Indication :} soit $A\in\mathcal{O}(\R)$; on pourra considérer $F_{p}=\ensemble{x\in \R}{ d(x, A^c)\geq 1/p}$, $p\geq 1$, et remarquer que $A=\bigcup_{p\geq 1} F_p$.
\item Montrer que $\mathscr{T}$ est stable par union dénombrable.
\emph{Indication :} soit $A_n\in\mathscr{T}$, $n\geq 1$, et $\varepsilon>0$. Considérer alors $F_n$ fermé de $\R$ et $O_n$ ouvert de $\R$ tels que $F_n\subset A_n\subset O_n$ et $\mu(O_n\setminus F_n)\leq \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}$. Remarquer qu'il existe $n\geq 1$ tel que $\mu(\bigcup_{k\geq 1}F_n)\leq \mu(\bigcup_{k=1}^n F_k)+\frac{\varepsilon}{2}$.
@@ -122,13 +123,13 @@
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{Lebesgue nulle et intérieur}
+\begin{exo}\emph{(Lebesgue nulle et intérieur)}
Montrer que tout sous-ensemble mesurable $E\subset \R^d$ de mesure de Lebesgue nulle est d'intérieur vide.
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{Un calcul avec la mesure de Lebesgue}
+\begin{exo}\emph{(Un calcul avec la mesure de Lebesgue)}
On considère $\R$ muni de la tribu borélienne $\mathcal{B}(\R)$ et de la mesure de Lebesgue $\lambda$. Pour $n\geq 0$, on pose $A_n=]n,n+2^{-n}[$.
\begin{enumerate}
@@ -139,11 +140,11 @@
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{Un deuxième calcul avec la mesure de Lebesgue}
+\begin{exo}\emph{(Un deuxième calcul avec la mesure de Lebesgue)}
Soit $\suite[n\geq 1]{a_n})$ une suite de nombre réels. On pose
\[
- A=\{x\in\R: \exists n\in\N^*, |x-a_n|\leq 2^{-n}\}
+ A=\ensemble{x\in\R}{ \exists n\in\N^*, |x-a_n|\leq 2^{-n}}
\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que $A\in\mathcal{B}(\R)$.
@@ -155,7 +156,7 @@
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{Un ensemble non bor\'elien : l'ensemble de Vitali}
+\begin{exo}\emph{(Un ensemble non borélien : l'ensemble de Vitali)}
Nous allons exhiber dans cet exercice une partie de $\R$ qui n'est pas dans la tribu des boréliens.
\begin{enumerate}
@@ -171,7 +172,7 @@
\end{exo}
% -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{Continuité et notion de presque partout}
+\begin{exo}\emph{(Continuité et notion de presque partout)}
Soit $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$ (i.e. la restriction à $[0,1]$ de la mesure de Lebesgue). Soit $f:[0,1]\longrightarrow\R$ une fonction continue et supposons que $f$ est nulle sur un borélien de mesure $1$, c'est à dire que $\lambda\pa{f^{-1}(0)}=1$. Montrer alors que $f$ est identiquement nulle. Le résultat subsiste-t-il si on remplace continue par mesurable?
\end{exo}
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD4.pdf b/TDs/M61B_2023-24_TD4.pdf
index e08de9541e7d70c8490dd95f3bb46765a8bf2a3f..cf8a4f6085ca9ead0523fbd40060f288f703d9b1 100644
Binary files a/TDs/M61B_2023-24_TD4.pdf and b/TDs/M61B_2023-24_TD4.pdf differ
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD4.tex b/TDs/M61B_2023-24_TD4.tex
index 14b14e3a6c9e38a20d8a054849cb1268be6bf6b7..8263ca5a3c8d3f1a9b3c08d4691c3c8717ccfee2 100644
--- a/TDs/M61B_2023-24_TD4.tex
+++ b/TDs/M61B_2023-24_TD4.tex
@@ -218,9 +218,9 @@ Dans toute la fiche, on supposera que les variables aléatoires d'un même exerc
\]
L'événement $A_n$ est un retour à zéro. On pose
\[
- A\coloneqq\{\omega\in\Omega\; ;\;
- \text{la suite $S_n(\omega)$ repasse une infinité de fois en $0$}\}=
- \cap_{k\geq 1}\cup_{j\geq k}A_j.
+ A\coloneqq
+ \ensemble{\omega\in\Omega}{\text{la suite $S_n(\omega)$ repasse une infinité de fois en $0$}}
+ = \cap_{k\geq 1}\cup_{j\geq k}A_j.
\]
Prouver que $P(A)=0$.
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD5.tex b/TDs/M61B_2023-24_TD5.tex
index c61193fedf410426888ae892c83ccf03b8e7b174..ec406129aa432aa9f76aeb8918efe86a005e86d4 100644
--- a/TDs/M61B_2023-24_TD5.tex
+++ b/TDs/M61B_2023-24_TD5.tex
@@ -120,8 +120,8 @@ sont définies sur un même espace de probabilités $(\Omega,\mathscr F, \P)$
\quad \text{avec} \quad
f(s) =
\begin{cases}
- 0 &\mbox{ si }s<0\mbox{ ou }s \geq 10, \\
- \lambda s(10-s) &\mbox{ si }0 \leq s < 10,
+ 0 &\text{ si }s<0\text{ ou }s \geq 10, \\
+ \lambda s(10-s) &\text{ si }0 \leq s < 10,
\end{cases}
\]
où $\lambda$ est un réel strictement positif.
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD6.pdf b/TDs/M61B_2023-24_TD6.pdf
index 86246ad244631500db50547668f736fb9c28579b..6399ffd6aeb9b25191f895062f9e338ce4d4285e 100644
Binary files a/TDs/M61B_2023-24_TD6.pdf and b/TDs/M61B_2023-24_TD6.pdf differ
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD6.tex b/TDs/M61B_2023-24_TD6.tex
index c18e8c6ede635332726d82805c809d7487b46f2c..d03ee05c0d51e8d49be3b3f4204069e0b3c0ef97 100644
--- a/TDs/M61B_2023-24_TD6.tex
+++ b/TDs/M61B_2023-24_TD6.tex
@@ -193,8 +193,8 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
\[
f_n(x) =
\begin{cases}
- g(x) \mbox{ si }n\mbox{ est pair},\\
- g(-x) \mbox{ sinon.}
+ g(x) \text{ si }n\text{ est pair},\\
+ g(-x) \text{ sinon.}
\end{cases}
\]
Montrer que
@@ -220,9 +220,9 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
\[
\lim_{n\to\infty}\int_\R n\log\pa{1+\pa{\frac{f(x)}{n}}^a}dx =
\begin{cases}
- \infty & \mbox{ si }0<a<1, \\
- c & \mbox{ si }a=1, \\
- 0 & \mbox{ si }1<a
+ \infty & \text{ si }0<a<1, \\
+ c & \text{ si }a=1, \\
+ 0 & \text{ si }1<a
\end{cases}.
\]
\end{exo}
@@ -276,7 +276,9 @@ Dans toute la fiche, on supposera sauf mention contraire que l'on se trouve sur
Supposons que $\mu$ est une mesure finie, et $f:E\to\R$ une fonction mesurable. Pour tout $n\in\N$, on pose
\[
- A_n=\{x\in E, \abs{f(x)}\geq n\} \quad \mbox{ et }\quad B_n=\{x\in E, \;n\leq \abs{f(x)}< n+1\}.
+ A_n=\ensemble{x\in E}{n\leq\abs{f(x)}}
+ \quad \text{ et }\quad
+ B_n=\ensemble{x\in E}{n\leq \abs{f(x)}< n+1}.
\]
Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD7.pdf b/TDs/M61B_2023-24_TD7.pdf
index 118ccfd1210fef3bd26531b2aed85127eaf51ca3..8e95ed359176fbf5dfa8ea18a1b9ca06f41d30c7 100644
Binary files a/TDs/M61B_2023-24_TD7.pdf and b/TDs/M61B_2023-24_TD7.pdf differ
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD7.tex b/TDs/M61B_2023-24_TD7.tex
index 5613971a0c2199ae1234c034c8dfef9641e4fb16..8b5b33106a6d382e85f7d0f13207537136d15584 100644
--- a/TDs/M61B_2023-24_TD7.tex
+++ b/TDs/M61B_2023-24_TD7.tex
@@ -18,7 +18,7 @@
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mu$ est uniquement déterminée par la donnée de $F$.
\item Montrer que $F$ est décroissante, continue à gauche sur $\R$ et calculer ses limites en $\pm \infty$.
- \item Calculer $\mu \{x\}$ pour $x\in \R$ et montrer que $F$ est continue en $x$ si et seulement si $\mu\{x\}=0$. Que peut-on en déduire sur $D=\{x\in \R, \ \mu\{x\}\not= 0\}$ ?
+ \item Calculer $\mu \{x\}$ pour $x\in \R$ et montrer que $F$ est continue en $x$ si et seulement si $\mu\{x\}=0$. Que peut-on en déduire sur $D=\ensemble{x\in \R}{\mu\{x\}\not= 0}$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}
@@ -44,8 +44,8 @@
\[
\delta_a(B) =
\begin{cases}
- 1 \mbox{ si }a\in B\\
- 0 \mbox{ sinon.}
+ 1 \text{ si }a\in B\\
+ 0 \text{ sinon.}
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
@@ -105,7 +105,7 @@
Soit $F:\R\to\R$ une fonction croissante, continue à droite, vérifiant $ \lim_{-\infty}F=0$ et $\lim_{+\infty}F=1$. On veut démontrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ dont $F$ est la fonction de répartition. Pour $u\in]0,1[$, on pose
\[
- G(u)=\inf\{x\in\R; F(x)\geq u\}.
+ G(u)=\inf\ensemble{x\in\R}{F(x)\geq u}.
\]
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $G$ est bien définie.
@@ -136,7 +136,7 @@
\end{enumerate}
\item On souhaite prouver que, parmi les variable aléatoires de variance donnée, les lois normales admettent une entropie maximale. On fixe $Y$ une variable aléatoire réelle centrée (c'est à dire d'espérance nulle), de densité $f_Y$ et de variance $\sigma^2$, admettant une entropie. On note $\varphi$ la densité d'une loi normale centrée ($m=0$), de variance $\sigma^2$. On suppose que les fonctions\vspace{-0.5em}
\[
- x\mapsto f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)} \quad \mbox{ et }\quad x\mapsto f_Y(x)\log\varphi(x)
+ x\mapsto f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)} \quad \text{ et }\quad x\mapsto f_Y(x)\log\varphi(x)
\]
sont intégrables sur $\R$.
\begin{enumerate}
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD8.pdf b/TDs/M61B_2023-24_TD8.pdf
index e626b0584c0319098687b1ba3ffba9d0b06e670c..913da2ea58062d9f5ac33330b45e9ab455fda60f 100644
Binary files a/TDs/M61B_2023-24_TD8.pdf and b/TDs/M61B_2023-24_TD8.pdf differ
diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD8.tex b/TDs/M61B_2023-24_TD8.tex
index 21ed83d1037d90556f7be32e307d29ee5f8caca8..17abbd0a928b944d16ff4b2f3cdfc877e9eb05b7 100644
--- a/TDs/M61B_2023-24_TD8.tex
+++ b/TDs/M61B_2023-24_TD8.tex
@@ -59,7 +59,7 @@
\[
\PP{|S_n|\geq \lambda}\leq 2 \exp\pa{\frac{-\lambda^2}{2n}}
\]
- \item Soit $c>1$. Pour tout $n\in \N^*$, on définit l'événement $A_n=\{|S_n|\leq \sqrt{2cn \log n}\}$. En utilisant le Lemme de Borel Cantelli, montrer que
+ \item Soit $c>1$. Pour tout $n\in \N^*$, on définit l'événement $A_n=\Bigl\{|S_n|\leq \sqrt{2cn \log n}\Bigr\}$. En utilisant le Lemme de Borel Cantelli, montrer que
\[
\PP{\liminf A_n}=1.
\]