diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD7.pdf b/TDs/M61B_2023-24_TD7.pdf
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 \usepackage{lille}
 \input{m61proba}
 
-\lilleset{titre=TD7 - Mesures et variables aléatoires réelles}
+\lilleset{titre=TD7 - Lois classiques continues et moments}
 
 \begin{document}
 
-
 % ===============================================
-\section{Caractérisation de mesures}
+\section{La loi uniforme}
 % ===============================================
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Mesures de Stieltjes)}
+\begin{exo}\emph{(Loi uniforme)}
 
-  Sur $(\R,\mathcal{B}(\R))$, on considère une mesure (positive) finie $\mu$ et on définit la fonction $F\, :\, \R\rightarrow \R_+$ par $F(x)=\mu([x,+\infty[)$.
+  Une variable aléatoire réelle continue $X$ prenant des valeurs dans $[a,b]$ est appelée \emph{uniforme}, et on note $X\sim\Uni{[a,b]}$, si sa fonction densité est :
+  \[
+    \rho_X = \frac{1}{b-a}\1_{[a,b]}.
+  \]
   \begin{enumerate}
-    \item Montrer que $\mu$ est uniquement déterminée par la donnée de $F$.
-    \item Montrer que $F$ est décroissante, continue à gauche sur $\R$ et calculer ses limites en $\pm \infty$.
-    \item  Calculer $\mu \{x\}$ pour $x\in \R$ et montrer que $F$ est continue en $x$ si et seulement si $\mu\{x\}=0$. Que peut-on en déduire sur $D=\ensemble{x\in \R}{\mu\{x\}\not= 0}$ ?
+    \item Calculez la moyenne $\mathbb{E}(X)$, la variance $\VV{X}$ et l'écart type $\sigma(X)$ de $X$.
+    \item Pour quelles $a$ et $b$, la variable $X$ est centrée réduite ?
+    \item Calculez les moments $\EE{X^{n}}$ de $X$ pour $n\in\N$.
+    \item Si $U$ est uniforme sur $[0,1]$, quelle est la distribution de $aU+b$ pour $a,b \in \mathbb{R}$ ? En déduire la distribution de $1-U$.
+    \item \emph{Application.} Le temps d'attente (en minutes) pour accéder à des données suit une loi uniforme $\mathcal{U}([1,7])$. Déterminer l'espérance du temps d'attente et son écart type.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Caractérisation des mesures sur $\R$)}
+\begin{exo}\emph{(Fonctions de la loi uniforme)}
 
-  Soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures sur $(\R,\mathcal B(\R))$ vérifiant pour tout $x\geq 0$ :
-  \[
-    \mu([0,x])=\nu([0,x])<+\infty
-  \]
-  et pour tout $x<0$ :
-  \[
-    \mu([x,0])=\nu([x,0])<+\infty.
-  \]
-  Montrer alors que $\mu=\nu$.
+  \begin{enumerate}
+    \item Soit $U\sim\Uni{[0,1]}$ une variable aléatoire réelle de loi uniforme et $X = P(U) = a_{n}U^{n}+\dots + a_{1}U + a_{0}$. Calculer $\EE{X}$ et $\VV{X}$ en fonction des $\suite[i=0,\dots,n]{a_{i}}$.
+    \item Soit $Y\sim\Uni{[0,\pi]}$, une variable aléatoire réelle de loi uniforme. Calculer $\EE{\sin(Y)}$ et $\VV{\sin(Y)}$, ainsi que $\EE{\cos(Y)}$ et $\VV{\cos(Y)}$.
+  \end{enumerate}
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Mesure de dirac)}
+\begin{exo}\emph{(Simulation par la loi uniforme)}
 
+  Soit $F:\R\to\R$ la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle $X$. Pour $u\in]0,1[$, on pose
+  \[
+    G(u)=\inf\ensemble{x\in\R}{F(x)\geq u}.
+  \]
+  On appelle $G$ \emph{l'inverse généralisée} de $F$.
   \begin{enumerate}
-    \item Soit $a\in \R$, on définit pour tout borélien  $B\in \mathcal{B}(\R)$
+    \item Montrer que $\ensemble{x\in\R}{F(x)\geq u}$ est un intervalle fermé minoré et non majoré. En déduire que $G$ est bien définie et que $\ensemble{x\in\R}{F(x)\geq u} = [G(u),+\infty[$.
+    \item Démontrer que, pour tout $x\in\R$ et tout $u\in]0,1[$,
     \[
-      \delta_a(B) =
-        \begin{cases}
-          1 \text{ si }a\in B\\
-          0 \text{ sinon.}
-        \end{cases}
+      F(x)\geq u\; \Longleftrightarrow \; x\geq G(u).
     \]
-    \begin{enumerate}
-      \item Montrer que l'application $\delta_a$ est une mesure sur $\R$, appellée la \emph{mesure de Dirac} en $a$.
-      \item Quelles sont les parties de $\R$ négligeables pour $\delta_a$ ?
-      \item Soit $f$ une fonction borélienne. Calculer $\int f d\delta_a$.
-    \end{enumerate}
-    \item Soit $n\in \N$, On définit l'application $\nu_n$ sur $\mathcal{B}(\R)$ par
+    \item Soit $U$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0,1]$. Quelle est la fonction de répartition de $G(U)$ ? Conclure.
+  \end{enumerate}
+\end{exo}
+
+% -----------------------------------------------
+\begin{exo}\emph{(Ni continue, ni discrète)}
+
+  Pour $X$ variable positive de fonction de répartition $F_{X}$, démontrer que
     \[
-      \nu_n(B)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^{-n}\delta_{k}(B).
+      \EE{X}=\int_0^{+\infty} 1-F_X(t)dt \quad\in \R\cup\{\infty\}.
     \]
-    \begin{enumerate}
-      \item Montrer que $\nu_n$ est une mesure de probabilités sur $(\R, \mathcal{B}(\R))$.
-      \item Soit $X$ une variable aléatoire réelle de distribution $\P_X=\nu_n$. Pour tout $x\in \R$, calculer la probabilité $\PP{X=x}$.
-      \item Conclure sur la nature de $X$.
-    \end{enumerate}
+  \indication{Utiliser l'exercice précédent pour écrire $\EE{X}=\int_0^{1} G(t)dt$.}
+
+  Soit $X$ une variable uniforme sur $[1,3]$ et $a\in[1,3]$.
+  \begin{enumerate}
+    \item Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y=\min\{X,a\}$ ?
+    \item Admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
+    \item Que vaut cette espérance si $a=1$ ? $a=3$ ? Est-ce que vous auriez pu trouver ces deux résultats autrement ?
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
 
+
 % ===============================================
-\section{Calculs de probabilités}
+\section{D'autres lois classiques}
 % ===============================================
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Quizz)}
+\begin{exo}\emph{(Loi exponentielle)}
 
-  \emph{Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la montrer, sinon l'infirmer à l'aide d'un contre-exemple ou d'un dessin.}
+  Une variable aléatoire réelle positive $X$ est appelée \emph{exponentielle} avec le paramètre $\lambda > 0$ si $X$ admet pour fonction densité :
+  \[
+    \rho_X(t) = \lambda e^{-\lambda t} \text{ pour } t \in \mathbb{R}_{+}.
+  \]
   \begin{enumerate}
-    \item Soit $f$ une densité de probabilité sur $\R$, on a nécessairement $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
-    \item Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X$ est indépendante d'elle même, c'est à dire que pour tous boréliens $A$,$B$, $\PP{X\in A\cap B}=\PP{X\in A}\PP{X\in B}$. Alors, il existe $x\in \R$ tel que $\PP{X=x}=1$. \emph{Indication : }on pourra s'intéresser à la variance de $X$.
-    \item La fonction ci-dessous est-elle la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle ? Si oui, quelle est la loi de la variable aléatoire associée ?
-    \begin{center}
-      \includegraphics[width=12cm]{img_fonction_repartition.pdf}
-    \end{center}
-    \item Soit $(X_i)_{i\in I}$ une famille de variables aléatoires telles que pour tout $i\neq j\in I$, et pour tous boréliens $A$, $B\in \mathcal{B}(\R)$,
-    \[
-      \PP{X_i\in A, X_j\in B}=\PP{X_i\in A}\PP{X_j\in B}.
-    \]
-    Alors, la famille $(X_i)_{i\in I}$ est indépendante.
-    \item Soit $X$ une variable aléatoire telle que pour tout $k$, la variable aléatoire $X\1_{|X|\leq k}$ est intégrable, et $\alpha_k\coloneqq\EE{X\1_{|X|\leq k}}$ converge vers $\alpha\in\R$ quand $k\to\infty$. Alors, $X$ est intégrable.
+    \item Calculez la moyenne $\mathbb{E}(X)$, la variance $\VV{X}$ et l'écart type $\sigma(X)$ de $X$.
+    \item Déterminer une fonction $G$ telle que pour $U\sim\Uni{[0,1]}$, la variable $G(U)$ soit exponentielle.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Loi normale)}
 
-  Le temps d'attente (en minutes) pour accéder à des données suit une loi uniforme $\mathcal{U}([1,6])$.
+  Soit $X$ une variable aléatoire normale centrée réduite.
   \begin{enumerate}
-    \item Déterminer la probabilité d'attendre au moins 5 minutes.
-    \item Déterminer le temps d'attente moyen.
+    \item Justifier que $X$ admet des moments à toute ordre.
+    \item Que valent $\EE{X^{2n+1}}$ pour $n\in\N$ ?
+    \item Pour $n\in\N$, on pose $c_n=\EE{X^{2n}}$. Montrer que $c_n=(2n-1)c_{n-1}$ pour $n\in\N^*$. En déduire une formule explicite pour $\EE{X^{2n}}$.
+    \item En déduire $\EE{X}$, $\VV{X}$ et $\sigma(X)$.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Loi de Cauchy)}
 
-  Soit $F:\R\to\R$ une fonction croissante, continue à droite, vérifiant $ \lim_{-\infty}F=0$ et $\lim_{+\infty}F=1$. On veut démontrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ dont $F$ est la fonction de répartition. Pour $u\in]0,1[$, on pose
+  Une variable aléatoire réelle $X$ est dite \emph{de Cauchy standard} si la fonction densité de $X$ est :
   \[
-    G(u)=\inf\ensemble{x\in\R}{F(x)\geq u}.
+    \rho_X(t) = \frac{1}{\pi(1+t^2)} \text{ pour } t \in \mathbb{R}.
   \]
   \begin{enumerate}
-    \item Vérifier que $G$ est bien définie.
-    \item Démontrer que, pour tout $x\in\R$ et tout $u\in]0,1[$,
-    \[
-      F(x)\geq u\; \Longleftrightarrow \; x\geq G(u).
-    \]
-    \item Soit $U$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0,1]$. Quelle est la fonction de répartition de $G(U)$?
+    \item Calculez l'espérance $\mathbb{E}(X)$, si elle existe.
+    \item Montrer que $\sigma X + \mu$ est une variable continue et calculer sa densité.\\
+    \emph{Nous appelons cette distribution une distribution \emph{Cauchy} avec les paramètres $(\mu, \sigma)$.}
+    \item Déterminer une fonction $G$ telle que pour $U\sim\Uni{[0,1]}$, la variable $G(U)$ soit de Cauchy standard.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
+
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}
+\begin{exo}\emph{(Loi de Laplace)}
 
-  Étant donné $X$ une variable aléatoire réelle de densité $f_X$, on appelle entropie de $X$ la quantité suivante, si elle existe, \vspace{-0.5em}
+  On considère une variable aléatoire $X$ dont la densité est donnée par
   \[
-    h(X)=-\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\log f_X(x) dx.
+    f(x)=ce^{-|x|}.
   \]
   \begin{enumerate}
-    \item Calculer l'entropie d'une loi aléatoire uniforme sur le segment $[a,b]$.
-    \item On suppose que $X$ suit une loi normale, d'espérance $m$ et variance $\sigma^2$, i.e. $X\sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$, dont on rappelle la densité
-    \[
-      f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}.
-    \]
-    \begin{enumerate}
-      \item Rappeler l'expression de l'espérance et de la variance de $X$, sous formes d'intégrales de $f_X$.
-      \item Montrer que $h(X)=\frac{1}{2}(1+\log(2\pi\sigma^2)).$
-    \end{enumerate}
-    \item On souhaite prouver que, parmi les variable aléatoires de variance donnée, les lois normales admettent une entropie maximale. On fixe $Y$ une variable aléatoire réelle centrée (c'est à dire d'espérance nulle), de densité $f_Y$ et de variance $\sigma^2$, admettant une entropie. On note $\varphi$ la densité d'une loi normale centrée ($m=0$), de variance $\sigma^2$. On suppose que les fonctions\vspace{-0.5em}
-    \[
-      x\mapsto f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)} \quad \text{ et }\quad x\mapsto f_Y(x)\log\varphi(x)
-    \]
-    sont intégrables sur $\R$.
-    \begin{enumerate}
-      \item Démontrer que pour tout $x>0$, $\log x \leq x-1$.
-      \item Vérifier que
-       \[
-        h(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)}dx  -\int_{-\infty}^{+\infty} f_Y(x)\log\varphi(x)dx.
-      \]
-      \item En déduire que $h(Y)\leq \frac 12(1+\log(2\pi \sigma^2)).$
-    \end{enumerate}
+    \item Calculer $c$.
+    \item Démontrer que $X$ admet des moments de tout ordre. Les calculer.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
-
-\newpage
 % ===============================================
-\section{Moments}
+\section{Variables continues - supplément}
 % ===============================================
 
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
 
-  \begin{enumerate}
-    \item Soit $X\sim\Uni{[1,3]}$ une variable aléatoire réelle de loi uniforme. Calculer $\EE{X}$ et $\EE{X^2}$.
-    \item Soit $X\sim\Uni{[0,\pi]}$, une variable aléatoire réelle de loi uniforme. Calculer $\EE{\sin(X)}$ et $\EE{\cos(X)}$.
-    \item Soit $X\sim\Exp{\lambda}$, une variable aléatoire réelle de loi exponentielle. Calculer $\EE{e^{X\!/2}}$ lorsqu'elle existe.
-  \end{enumerate}
-\end{exo}
-
-% -----------------------------------------------
-\begin{exo}
-
-  Soit $X$ une variable uniforme sur $[1,3]$ et $a\in[1,3]$.
-  \begin{enumerate}
-    \item Quelle est la loi de la variable aléatoire  $Y=\min\{X,a\}$ ?
-    \item Admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
-    \item Que vaut cette espérance si $a=1$ ? $a=3$ ? Est-ce que vous auriez pu trouver ces deux résultats autrement ?
-  \end{enumerate}
-\end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
 \begin{exo}\emph{(Consommation d'eau)}
 
-  La consommation journalière en eau  d'une agglomération au cours du mois de juillet est une variable aléatoire $X$ dont la densité $f$ a la forme:
+  La consommation journalière en eau d'une agglomération au cours du mois de juillet est une variable aléatoire $X$ dont la densité $f$ a la forme :
   \[
-    f(t)=c(t-a)(b-t)\1_{[a,b]}(t),\quad t\in\R,
+    \rho(t)=c(t-a)(b-t)\1_{[a,b]}(t),\quad t\in\R,
   \]
   où $a$, $b$, $c$ sont des constantes strictement positives ($a<b$).
   \begin{enumerate}
@@ -192,24 +151,71 @@
     \]
     \item Exprimer la constante $c$ en fonction de $a$ et $b$.
     \item Calculer $\EE{X-a}$ et $\EE{(X-a)^2}$. En déduire $\EE{X}$ et $\VV{X}$.
-    \item Donner la fonction de répartition $F$ de la variable aléatoire $X$: on distinguera pour le calcul de $F(x)$ les cas $x<a$, $a\leq x\leq b$ et $x>b$ et, dans le deuxième cas, on écrira $F(x)$ en fonction de $(x-a)$ et $(b-x)$ sans développer ni réduire le polynôme obtenu. Donner l'allure des représentations graphiques de $f$ et $F$. Proposer une interprétation physique des constantes $a$ et $b$.
+    \item Donner la fonction de répartition $F$ de la variable aléatoire $X$. Donner l'allure des représentations graphiques de $\rho$ et $F$. Proposer une interprétation physique des constantes $a$ et $b$.
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
 % -----------------------------------------------
-\begin{exo}\emph{(Moments de la loi normale)}
+\begin{exo}\emph{(Loi log-normale)}
 
-  Soit $X$ une variable aléatoire normale centrée réduite.
+  On dit qu'une variable positive $X$ suit une loi log-normale si $Y=\ln X$ suit une loi normale centrée réduite.
   \begin{enumerate}
-    \item Que vaut $\PP{X\geq 0} $ ?
-    \item Que valent $\EE{X^{2n+1}}$ pour $n\in\N$ ?
-    \item Pour $n\in\N$, on pose $c_n=\EE{X^{2n}}$. Montrer que $c_n=(2n-1)c_{n-1}$ pour $n\in\N^*$. En déduire une formule explicite pour $\EE{X^{2n}}$.
-    \item Pour $\sigma>0$, $m\in \R$, on définit la variable aléatoire $Y=\sigma X+m$.
+    \item Exprimer la fonction de répartition de $X$ à l'aide de la fonction de répartition $\phi$ de la loi normale centrée réduite. Calculer sa densité.
+    \item Démontrer que $\EE{X}=\sqrt e$.
+  \end{enumerate}
+
+\end{exo}
+
+% -----------------------------------------------
+\begin{exo}\emph{(Une loi à reconnaître)}
+
+  Soit $\rho$ la fonction définie sur $\R$ par $\rho(x)=\frac{1}{2(1+|x|)^2}$.
+  \begin{enumerate}
+    \item Démontrer que $\rho$ est la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$.
+    \item On considère la variable aléatoire $Y=\ln(1+|X|)$. Calculer sa fonction de répartition.
+    \item Reconnaître la loi de $Y$.
+  \end{enumerate}
+\end{exo}
+
+% -----------------------------------------------
+\begin{exo}\emph{(Entropie)}
+
+  Étant donné $X$ une variable aléatoire réelle de densité $f_X$, on appelle entropie de $X$ la quantité suivante, si elle existe,
+  \[
+    h(X)=-\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\log f_X(x) dx.
+  \]
+  \begin{enumerate}
+    \item Calculer l'entropie d'une loi aléatoire uniforme sur le segment $[a,b]$.
+    \item On suppose que $X$ suit une loi normale, d'espérance $m$ et variance $\sigma^2$, i.e. $X\sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$, dont on rappelle la densité
+    \[
+      f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}.
+    \]
     \begin{enumerate}
-      \item Que valent $\EE{Y}$ et $\VV{Y}$ ?
-      \item Déterminer la loi de $Y$.
+      \item Rappeler l'expression de l'espérance et de la variance de $X$, sous formes d'intégrales de $f_X$.
+      \item Montrer que $h(X)=\frac{1}{2}(1+\log(2\pi\sigma^2)).$
+    \end{enumerate}
+    \item On souhaite prouver que, parmi les variables aléatoires de variance donnée, les lois normales admettent une entropie maximale. On fixe $Y$ une variable aléatoire réelle centrée (c’est-à-dire d'espérance nulle), de densité $f_Y$ et de variance $\sigma^2$, admettant une entropie. On note $\varphi$ la densité d'une loi normale centrée ($m=0$), de variance $\sigma^2$. On suppose que les fonctions
+    \[
+      x\mapsto f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)} \quad \text{ et }\quad x\mapsto f_Y(x)\log\varphi(x)
+    \]
+    sont intégrables sur $\R$.
+    \begin{enumerate}
+      \item Démontrer que pour tout $x>0$, $\log x \leq x-1$.
+      \item Vérifier que
+       \[
+        h(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)}dx - \int_{-\infty}^{+\infty} f_Y(x)\log\varphi(x)dx.
+      \]
+      \item En déduire que $h(Y)\leq \frac 12(1+\log(2\pi \sigma^2)).$
     \end{enumerate}
   \end{enumerate}
 \end{exo}
 
+% -----------------------------------------------
+\begin{exo}
+
+  Le nombre d'accidents en une semaine dans une usine est une v.a. de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$. Le nombre d'individus blessés dans un accident est une v.a. de moyenne $\nu$ et de variance $\tau^2$. Les nombres d'individus blessés dans des accidents différents sont indépendants.
+
+  Donner l'espérance et la variance du nombre d'individus blessés en une semaine.
+\end{exo}
+
 \end{document}