diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD7.pdf b/TDs/M61B_2023-24_TD7.pdf index 8e95ed359176fbf5dfa8ea18a1b9ca06f41d30c7..9727896e40c32fc1523a8bb2cccb45bb02a5eda4 100644 Binary files a/TDs/M61B_2023-24_TD7.pdf and b/TDs/M61B_2023-24_TD7.pdf differ diff --git a/TDs/M61B_2023-24_TD7.tex b/TDs/M61B_2023-24_TD7.tex index 8b5b33106a6d382e85f7d0f13207537136d15584..b95239ce01033e03ff58653618df92a823e9b233 100644 --- a/TDs/M61B_2023-24_TD7.tex +++ b/TDs/M61B_2023-24_TD7.tex @@ -2,187 +2,146 @@ \usepackage{lille} \input{m61proba} -\lilleset{titre=TD7 - Mesures et variables aléatoires réelles} +\lilleset{titre=TD7 - Lois classiques continues et moments} \begin{document} - % =============================================== -\section{Caractérisation de mesures} +\section{La loi uniforme} % =============================================== % ----------------------------------------------- -\begin{exo}\emph{(Mesures de Stieltjes)} +\begin{exo}\emph{(Loi uniforme)} - Sur $(\R,\mathcal{B}(\R))$, on considère une mesure (positive) finie $\mu$ et on définit la fonction $F\, :\, \R\rightarrow \R_+$ par $F(x)=\mu([x,+\infty[)$. + Une variable aléatoire réelle continue $X$ prenant des valeurs dans $[a,b]$ est appelée \emph{uniforme}, et on note $X\sim\Uni{[a,b]}$, si sa fonction densité est : + \[ + \rho_X = \frac{1}{b-a}\1_{[a,b]}. + \] \begin{enumerate} - \item Montrer que $\mu$ est uniquement déterminée par la donnée de $F$. - \item Montrer que $F$ est décroissante, continue à gauche sur $\R$ et calculer ses limites en $\pm \infty$. - \item Calculer $\mu \{x\}$ pour $x\in \R$ et montrer que $F$ est continue en $x$ si et seulement si $\mu\{x\}=0$. Que peut-on en déduire sur $D=\ensemble{x\in \R}{\mu\{x\}\not= 0}$ ? + \item Calculez la moyenne $\mathbb{E}(X)$, la variance $\VV{X}$ et l'écart type $\sigma(X)$ de $X$. + \item Pour quelles $a$ et $b$, la variable $X$ est centrée réduite ? + \item Calculez les moments $\EE{X^{n}}$ de $X$ pour $n\in\N$. + \item Si $U$ est uniforme sur $[0,1]$, quelle est la distribution de $aU+b$ pour $a,b \in \mathbb{R}$ ? En déduire la distribution de $1-U$. + \item \emph{Application.} Le temps d'attente (en minutes) pour accéder à des données suit une loi uniforme $\mathcal{U}([1,7])$. Déterminer l'espérance du temps d'attente et son écart type. \end{enumerate} \end{exo} % ----------------------------------------------- -\begin{exo}\emph{(Caractérisation des mesures sur $\R$)} +\begin{exo}\emph{(Fonctions de la loi uniforme)} - Soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures sur $(\R,\mathcal B(\R))$ vérifiant pour tout $x\geq 0$ : - \[ - \mu([0,x])=\nu([0,x])<+\infty - \] - et pour tout $x<0$ : - \[ - \mu([x,0])=\nu([x,0])<+\infty. - \] - Montrer alors que $\mu=\nu$. + \begin{enumerate} + \item Soit $U\sim\Uni{[0,1]}$ une variable aléatoire réelle de loi uniforme et $X = P(U) = a_{n}U^{n}+\dots + a_{1}U + a_{0}$. Calculer $\EE{X}$ et $\VV{X}$ en fonction des $\suite[i=0,\dots,n]{a_{i}}$. + \item Soit $Y\sim\Uni{[0,\pi]}$, une variable aléatoire réelle de loi uniforme. Calculer $\EE{\sin(Y)}$ et $\VV{\sin(Y)}$, ainsi que $\EE{\cos(Y)}$ et $\VV{\cos(Y)}$. + \end{enumerate} \end{exo} % ----------------------------------------------- -\begin{exo}\emph{(Mesure de dirac)} +\begin{exo}\emph{(Simulation par la loi uniforme)} + Soit $F:\R\to\R$ la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle $X$. Pour $u\in]0,1[$, on pose + \[ + G(u)=\inf\ensemble{x\in\R}{F(x)\geq u}. + \] + On appelle $G$ \emph{l'inverse généralisée} de $F$. \begin{enumerate} - \item Soit $a\in \R$, on définit pour tout borélien $B\in \mathcal{B}(\R)$ + \item Montrer que $\ensemble{x\in\R}{F(x)\geq u}$ est un intervalle fermé minoré et non majoré. En déduire que $G$ est bien définie et que $\ensemble{x\in\R}{F(x)\geq u} = [G(u),+\infty[$. + \item Démontrer que, pour tout $x\in\R$ et tout $u\in]0,1[$, \[ - \delta_a(B) = - \begin{cases} - 1 \text{ si }a\in B\\ - 0 \text{ sinon.} - \end{cases} + F(x)\geq u\; \Longleftrightarrow \; x\geq G(u). \] - \begin{enumerate} - \item Montrer que l'application $\delta_a$ est une mesure sur $\R$, appellée la \emph{mesure de Dirac} en $a$. - \item Quelles sont les parties de $\R$ négligeables pour $\delta_a$ ? - \item Soit $f$ une fonction borélienne. Calculer $\int f d\delta_a$. - \end{enumerate} - \item Soit $n\in \N$, On définit l'application $\nu_n$ sur $\mathcal{B}(\R)$ par + \item Soit $U$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0,1]$. Quelle est la fonction de répartition de $G(U)$ ? Conclure. + \end{enumerate} +\end{exo} + +% ----------------------------------------------- +\begin{exo}\emph{(Ni continue, ni discrète)} + + Pour $X$ variable positive de fonction de répartition $F_{X}$, démontrer que \[ - \nu_n(B)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^{-n}\delta_{k}(B). + \EE{X}=\int_0^{+\infty} 1-F_X(t)dt \quad\in \R\cup\{\infty\}. \] - \begin{enumerate} - \item Montrer que $\nu_n$ est une mesure de probabilités sur $(\R, \mathcal{B}(\R))$. - \item Soit $X$ une variable aléatoire réelle de distribution $\P_X=\nu_n$. Pour tout $x\in \R$, calculer la probabilité $\PP{X=x}$. - \item Conclure sur la nature de $X$. - \end{enumerate} + \indication{Utiliser l'exercice précédent pour écrire $\EE{X}=\int_0^{1} G(t)dt$.} + + Soit $X$ une variable uniforme sur $[1,3]$ et $a\in[1,3]$. + \begin{enumerate} + \item Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y=\min\{X,a\}$ ? + \item Admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer. + \item Que vaut cette espérance si $a=1$ ? $a=3$ ? Est-ce que vous auriez pu trouver ces deux résultats autrement ? \end{enumerate} \end{exo} + % =============================================== -\section{Calculs de probabilités} +\section{D'autres lois classiques} % =============================================== % ----------------------------------------------- -\begin{exo}\emph{(Quizz)} +\begin{exo}\emph{(Loi exponentielle)} - \emph{Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la montrer, sinon l'infirmer à l'aide d'un contre-exemple ou d'un dessin.} + Une variable aléatoire réelle positive $X$ est appelée \emph{exponentielle} avec le paramètre $\lambda > 0$ si $X$ admet pour fonction densité : + \[ + \rho_X(t) = \lambda e^{-\lambda t} \text{ pour } t \in \mathbb{R}_{+}. + \] \begin{enumerate} - \item Soit $f$ une densité de probabilité sur $\R$, on a nécessairement $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. - \item Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X$ est indépendante d'elle même, c'est à dire que pour tous boréliens $A$,$B$, $\PP{X\in A\cap B}=\PP{X\in A}\PP{X\in B}$. Alors, il existe $x\in \R$ tel que $\PP{X=x}=1$. \emph{Indication : }on pourra s'intéresser à la variance de $X$. - \item La fonction ci-dessous est-elle la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle ? Si oui, quelle est la loi de la variable aléatoire associée ? - \begin{center} - \includegraphics[width=12cm]{img_fonction_repartition.pdf} - \end{center} - \item Soit $(X_i)_{i\in I}$ une famille de variables aléatoires telles que pour tout $i\neq j\in I$, et pour tous boréliens $A$, $B\in \mathcal{B}(\R)$, - \[ - \PP{X_i\in A, X_j\in B}=\PP{X_i\in A}\PP{X_j\in B}. - \] - Alors, la famille $(X_i)_{i\in I}$ est indépendante. - \item Soit $X$ une variable aléatoire telle que pour tout $k$, la variable aléatoire $X\1_{|X|\leq k}$ est intégrable, et $\alpha_k\coloneqq\EE{X\1_{|X|\leq k}}$ converge vers $\alpha\in\R$ quand $k\to\infty$. Alors, $X$ est intégrable. + \item Calculez la moyenne $\mathbb{E}(X)$, la variance $\VV{X}$ et l'écart type $\sigma(X)$ de $X$. + \item Déterminer une fonction $G$ telle que pour $U\sim\Uni{[0,1]}$, la variable $G(U)$ soit exponentielle. \end{enumerate} \end{exo} % ----------------------------------------------- -\begin{exo} +\begin{exo}\emph{(Loi normale)} - Le temps d'attente (en minutes) pour accéder à des données suit une loi uniforme $\mathcal{U}([1,6])$. + Soit $X$ une variable aléatoire normale centrée réduite. \begin{enumerate} - \item Déterminer la probabilité d'attendre au moins 5 minutes. - \item Déterminer le temps d'attente moyen. + \item Justifier que $X$ admet des moments à toute ordre. + \item Que valent $\EE{X^{2n+1}}$ pour $n\in\N$ ? + \item Pour $n\in\N$, on pose $c_n=\EE{X^{2n}}$. Montrer que $c_n=(2n-1)c_{n-1}$ pour $n\in\N^*$. En déduire une formule explicite pour $\EE{X^{2n}}$. + \item En déduire $\EE{X}$, $\VV{X}$ et $\sigma(X)$. \end{enumerate} \end{exo} % ----------------------------------------------- -\begin{exo} +\begin{exo}\emph{(Loi de Cauchy)} - Soit $F:\R\to\R$ une fonction croissante, continue à droite, vérifiant $ \lim_{-\infty}F=0$ et $\lim_{+\infty}F=1$. On veut démontrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ dont $F$ est la fonction de répartition. Pour $u\in]0,1[$, on pose + Une variable aléatoire réelle $X$ est dite \emph{de Cauchy standard} si la fonction densité de $X$ est : \[ - G(u)=\inf\ensemble{x\in\R}{F(x)\geq u}. + \rho_X(t) = \frac{1}{\pi(1+t^2)} \text{ pour } t \in \mathbb{R}. \] \begin{enumerate} - \item Vérifier que $G$ est bien définie. - \item Démontrer que, pour tout $x\in\R$ et tout $u\in]0,1[$, - \[ - F(x)\geq u\; \Longleftrightarrow \; x\geq G(u). - \] - \item Soit $U$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0,1]$. Quelle est la fonction de répartition de $G(U)$? + \item Calculez l'espérance $\mathbb{E}(X)$, si elle existe. + \item Montrer que $\sigma X + \mu$ est une variable continue et calculer sa densité.\\ + \emph{Nous appelons cette distribution une distribution \emph{Cauchy} avec les paramètres $(\mu, \sigma)$.} + \item Déterminer une fonction $G$ telle que pour $U\sim\Uni{[0,1]}$, la variable $G(U)$ soit de Cauchy standard. \end{enumerate} \end{exo} + % ----------------------------------------------- -\begin{exo} +\begin{exo}\emph{(Loi de Laplace)} - Étant donné $X$ une variable aléatoire réelle de densité $f_X$, on appelle entropie de $X$ la quantité suivante, si elle existe, \vspace{-0.5em} + On considère une variable aléatoire $X$ dont la densité est donnée par \[ - h(X)=-\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\log f_X(x) dx. + f(x)=ce^{-|x|}. \] \begin{enumerate} - \item Calculer l'entropie d'une loi aléatoire uniforme sur le segment $[a,b]$. - \item On suppose que $X$ suit une loi normale, d'espérance $m$ et variance $\sigma^2$, i.e. $X\sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$, dont on rappelle la densité - \[ - f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}. - \] - \begin{enumerate} - \item Rappeler l'expression de l'espérance et de la variance de $X$, sous formes d'intégrales de $f_X$. - \item Montrer que $h(X)=\frac{1}{2}(1+\log(2\pi\sigma^2)).$ - \end{enumerate} - \item On souhaite prouver que, parmi les variable aléatoires de variance donnée, les lois normales admettent une entropie maximale. On fixe $Y$ une variable aléatoire réelle centrée (c'est à dire d'espérance nulle), de densité $f_Y$ et de variance $\sigma^2$, admettant une entropie. On note $\varphi$ la densité d'une loi normale centrée ($m=0$), de variance $\sigma^2$. On suppose que les fonctions\vspace{-0.5em} - \[ - x\mapsto f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)} \quad \text{ et }\quad x\mapsto f_Y(x)\log\varphi(x) - \] - sont intégrables sur $\R$. - \begin{enumerate} - \item Démontrer que pour tout $x>0$, $\log x \leq x-1$. - \item Vérifier que - \[ - h(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)}dx -\int_{-\infty}^{+\infty} f_Y(x)\log\varphi(x)dx. - \] - \item En déduire que $h(Y)\leq \frac 12(1+\log(2\pi \sigma^2)).$ - \end{enumerate} + \item Calculer $c$. + \item Démontrer que $X$ admet des moments de tout ordre. Les calculer. \end{enumerate} \end{exo} - -\newpage % =============================================== -\section{Moments} +\section{Variables continues - supplément} % =============================================== -% ----------------------------------------------- -\begin{exo} - \begin{enumerate} - \item Soit $X\sim\Uni{[1,3]}$ une variable aléatoire réelle de loi uniforme. Calculer $\EE{X}$ et $\EE{X^2}$. - \item Soit $X\sim\Uni{[0,\pi]}$, une variable aléatoire réelle de loi uniforme. Calculer $\EE{\sin(X)}$ et $\EE{\cos(X)}$. - \item Soit $X\sim\Exp{\lambda}$, une variable aléatoire réelle de loi exponentielle. Calculer $\EE{e^{X\!/2}}$ lorsqu'elle existe. - \end{enumerate} -\end{exo} - -% ----------------------------------------------- -\begin{exo} - - Soit $X$ une variable uniforme sur $[1,3]$ et $a\in[1,3]$. - \begin{enumerate} - \item Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y=\min\{X,a\}$ ? - \item Admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer. - \item Que vaut cette espérance si $a=1$ ? $a=3$ ? Est-ce que vous auriez pu trouver ces deux résultats autrement ? - \end{enumerate} -\end{exo} % ----------------------------------------------- \begin{exo}\emph{(Consommation d'eau)} - La consommation journalière en eau d'une agglomération au cours du mois de juillet est une variable aléatoire $X$ dont la densité $f$ a la forme: + La consommation journalière en eau d'une agglomération au cours du mois de juillet est une variable aléatoire $X$ dont la densité $f$ a la forme : \[ - f(t)=c(t-a)(b-t)\1_{[a,b]}(t),\quad t\in\R, + \rho(t)=c(t-a)(b-t)\1_{[a,b]}(t),\quad t\in\R, \] où $a$, $b$, $c$ sont des constantes strictement positives ($a<b$). \begin{enumerate} @@ -192,24 +151,71 @@ \] \item Exprimer la constante $c$ en fonction de $a$ et $b$. \item Calculer $\EE{X-a}$ et $\EE{(X-a)^2}$. En déduire $\EE{X}$ et $\VV{X}$. - \item Donner la fonction de répartition $F$ de la variable aléatoire $X$: on distinguera pour le calcul de $F(x)$ les cas $x<a$, $a\leq x\leq b$ et $x>b$ et, dans le deuxième cas, on écrira $F(x)$ en fonction de $(x-a)$ et $(b-x)$ sans développer ni réduire le polynôme obtenu. Donner l'allure des représentations graphiques de $f$ et $F$. Proposer une interprétation physique des constantes $a$ et $b$. + \item Donner la fonction de répartition $F$ de la variable aléatoire $X$. Donner l'allure des représentations graphiques de $\rho$ et $F$. Proposer une interprétation physique des constantes $a$ et $b$. \end{enumerate} \end{exo} % ----------------------------------------------- -\begin{exo}\emph{(Moments de la loi normale)} +\begin{exo}\emph{(Loi log-normale)} - Soit $X$ une variable aléatoire normale centrée réduite. + On dit qu'une variable positive $X$ suit une loi log-normale si $Y=\ln X$ suit une loi normale centrée réduite. \begin{enumerate} - \item Que vaut $\PP{X\geq 0} $ ? - \item Que valent $\EE{X^{2n+1}}$ pour $n\in\N$ ? - \item Pour $n\in\N$, on pose $c_n=\EE{X^{2n}}$. Montrer que $c_n=(2n-1)c_{n-1}$ pour $n\in\N^*$. En déduire une formule explicite pour $\EE{X^{2n}}$. - \item Pour $\sigma>0$, $m\in \R$, on définit la variable aléatoire $Y=\sigma X+m$. + \item Exprimer la fonction de répartition de $X$ à l'aide de la fonction de répartition $\phi$ de la loi normale centrée réduite. Calculer sa densité. + \item Démontrer que $\EE{X}=\sqrt e$. + \end{enumerate} + +\end{exo} + +% ----------------------------------------------- +\begin{exo}\emph{(Une loi à reconnaître)} + + Soit $\rho$ la fonction définie sur $\R$ par $\rho(x)=\frac{1}{2(1+|x|)^2}$. + \begin{enumerate} + \item Démontrer que $\rho$ est la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$. + \item On considère la variable aléatoire $Y=\ln(1+|X|)$. Calculer sa fonction de répartition. + \item Reconnaître la loi de $Y$. + \end{enumerate} +\end{exo} + +% ----------------------------------------------- +\begin{exo}\emph{(Entropie)} + + Étant donné $X$ une variable aléatoire réelle de densité $f_X$, on appelle entropie de $X$ la quantité suivante, si elle existe, + \[ + h(X)=-\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\log f_X(x) dx. + \] + \begin{enumerate} + \item Calculer l'entropie d'une loi aléatoire uniforme sur le segment $[a,b]$. + \item On suppose que $X$ suit une loi normale, d'espérance $m$ et variance $\sigma^2$, i.e. $X\sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$, dont on rappelle la densité + \[ + f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}. + \] \begin{enumerate} - \item Que valent $\EE{Y}$ et $\VV{Y}$ ? - \item Déterminer la loi de $Y$. + \item Rappeler l'expression de l'espérance et de la variance de $X$, sous formes d'intégrales de $f_X$. + \item Montrer que $h(X)=\frac{1}{2}(1+\log(2\pi\sigma^2)).$ + \end{enumerate} + \item On souhaite prouver que, parmi les variables aléatoires de variance donnée, les lois normales admettent une entropie maximale. On fixe $Y$ une variable aléatoire réelle centrée (c’est-à-dire d'espérance nulle), de densité $f_Y$ et de variance $\sigma^2$, admettant une entropie. On note $\varphi$ la densité d'une loi normale centrée ($m=0$), de variance $\sigma^2$. On suppose que les fonctions + \[ + x\mapsto f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)} \quad \text{ et }\quad x\mapsto f_Y(x)\log\varphi(x) + \] + sont intégrables sur $\R$. + \begin{enumerate} + \item Démontrer que pour tout $x>0$, $\log x \leq x-1$. + \item Vérifier que + \[ + h(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_Y(x)\log\frac{\varphi(x)}{f_Y(x)}dx - \int_{-\infty}^{+\infty} f_Y(x)\log\varphi(x)dx. + \] + \item En déduire que $h(Y)\leq \frac 12(1+\log(2\pi \sigma^2)).$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exo} +% ----------------------------------------------- +\begin{exo} + + Le nombre d'accidents en une semaine dans une usine est une v.a. de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$. Le nombre d'individus blessés dans un accident est une v.a. de moyenne $\nu$ et de variance $\tau^2$. Les nombres d'individus blessés dans des accidents différents sont indépendants. + + Donner l'espérance et la variance du nombre d'individus blessés en une semaine. +\end{exo} + \end{document}